AQFTにおける場の量子論についての混乱
Confusion About Quantum Field Aqft
解決：
実際、Weyl演算子を扱わない限り、与えられた時空のボゾン場を扱う$ M $、フィールド演算子はの要素です$ *-$単位を持つ代数$ cal A $。抽象ボゾン場演算子は代数値の一次関数です$$ C_0 ^ infty（M） ni f mapsto phi（f） in cal A ：、$$いくつかのさらなる特性を満たします。代数は、単位とこれらの要素の有限積の有限線形結合で構成され、さまざまな関数が塗られています。$ f $。通常代数状態（代数上の正線形汎関数）によって誘発されるいくつかの半ノルムトポロジーに関して、上記の関数についてさらにトポロジー仮説が仮定される場合の分布について話します。形式主義のこの段階では、異なるテスト関数が塗られたフィールド間で積が取得されるため、分布の積はゲームに入力されません。次のようなものしかありません。$$ phi（f） phi（g）= `` int_ {M times M} phi（x）f（x） phi（y）g（y）d mu（x）d mu （y） '$$このような悪いオブジェクトではありません$$ phi ^ 2（f）= `` int_ {M} phi（x） phi（x）f（x）d mu（x） ':。 tag {1} $$
スカラーボソン場の場合、適切な$ C ^ * $代数は、正式なオブジェクトを参照して導入できます$ e ^ {i phi（f）} $抽象と呼ばれる ワイルオペレーター 。問題は、これを使用することです$ C ^ * $代数は、（自己）引き込みモデルを扱うときに（不可能ではないにしても）非常に面倒であることがわかります。しかし（のネット）$ C ^ * $単純なものから始めても、代数が見つかります$ * $-代数、代数状態を修正した後にヒルベルト空間定式化に渡すとき。これらの特別な$ C ^ * $-代数は実際にはフォンノイマン代数です。
理論の観測量は、代数の形式的に自己隣接する要素ですが、適切な単一性でゼロから扱う場合を除きます$ C ^ * $代数、これは非常に素朴な解釈であり、いわゆる代数状態を介して特定の代数状態に関連付けられたヒルベルト空間の代数の表現に渡すときに、多くの問題がそれに影響を与えます GNS手順 。の要素$ * $-代数で自己隣接している代数は、ヒルベルト空間では（本質的に）自己結合していません。彼らは、自己隣接拡張をまったくまたは多く認めない可能性があり、これは、で定式化されたAQFTの見落とされている未解決の問題です。$ * $-代数。ただし、最近の部分的な結果がいくつかあります。
逆に、代数的アプローチは、概念を少し曖昧または面倒なものとして説明するのに非常に効果的です。 自発的対称性の破れ 同時に処理することもできます 単一的に同等でない表現 オブザーバブルの同じ代数の。また、熱力学的極限が簡単になります。極限はまったくありません。多数の代数状態は非常に大きいため、熱力学的極限を最初から説明している状態が含まれます。それらは密度行列ではなく、熱性はにエンコードされます KMSの状態 。 AQFT言語は、存在下でQFTを処理するのに非常に自然です。 ブラックホール 、説明するには ホーキング放射 そしてその ウンルー効果 。また、ホーキング効果の解釈は トンネル効果 のプロパティの観点から、AQFTに自然で厳密なバージョンがあります アダマール状態 。 （個人的なメモとして、私はこれらの主題に私のキャリアの約20年を費やしたと言うかもしれませんが、今は他のものに移っています。）
ユニタリー$ * $代数$ cal A $ただし、（ボソニック）AQFTは小さすぎて、理論のすべての興味深い観測量を含めることはできません。 ストレスエネルギーテンソル その期待値は、次の半古典的定式化における重力場の源として見られます。 量子重力 。これらのオブジェクトの最も基本的なバージョンは、正確に（1）の形式です。代数の拡大には、実際には次の適切な一般化が含まれています。 分布の製品 そしてそこに（1）意味があります。これらの製品が明確に定義されていないという事実は、（有限の）紫外線繰り込みの原因です。
紫外線繰り込み手順は、無限の量を通過することなく、有限繰り込みカウンタータームを即座に達成する直接的な方法でAQFTに記述されています。
それはすべて、与えられた時空におけるAQFTを指します。の言語を使用して、考えられるすべての大域的双曲時空を同時に考慮する、より高度なAQFTを作成することができます。 圏論 。ここでは、一般共変性が正確にエンコードされているため、少し漠然とした概念があります ファンクトリアル 言語。このアプローチにはいくつかの興味深い結果があります。たとえば、 繰り込み定数の値はすべての時空で同じです 。
私がI.Khavkineと一緒に執筆したこの論文は、これらのアイデアを十分にスムーズに紹介するものでなければなりません。
これは、カテゴリーアプローチや繰り込み手順など、この主題に関する最近の結果を集めた本の一部（第5章）です。
質問の2つの部分は、AQFTアプローチの2つの動機を示しています。フィールドではなくオブザーバブルに焦点を当てることと、有界演算子（ヒルベルト空間全体で明確に定義されている通常の演算子）のみを使用することです。
QFTの標準的な定式化では、フィールド演算子は（数学的に）基本的なオブジェクトであり、オブザーバブルはそれらの観点から表現されます。典型的なモデルでは、フィールド演算子のほとんどの組み合わせは次のとおりです。 いいえ オブザーバブル。対照的に、AQFTはオブザーバブルに直接基づいています。一般的に、$ C * $-AQFTの代数には、フィールド演算子（の一部）をオブザーバブルで表現できる特別なモデルを除いて、フィールド演算子は含まれていません。ただし、観測量の同じネットの異なるヒルベルト空間表現間の関係を考慮することにより、フィールドは間接的に入力できます。
AQFTアプローチの概念上の利点の1つ（計算上の利点ではなく、 概念 1）は、分布の「演算子」を避け、代わりにヒルベルト空間全体で本当に明確に定義された演算子のみを使用することです。そのため、AQFTは、時空のポイントに関連付けられた演算子について話すのではなく、時空のトポロジー的に開いたサブセットに関連付けられた代数について話します。
これらの問題は両方とも、を使用して比較的簡単に理解できます。 ラティスAQFT 、$ ^ dagger $これは、格子QFTへのAQFTのようなアプローチです。たとえば、質問2に適用する方法は次のとおりです。格子QFTの点に関連付けられた演算子は、ヒルベルト空間全体で明確に定義された演算子ですが、交換関係の連続限界を考慮すると、演算子がすぐにわかります。連続体の限界で有限（点状ではない）のままである領域に適切に「塗られている」場合にのみ、境界を維持できます。
$ ^ dagger $名前を見たことがない ラティスAQFT 以前に使用されました。良い名前が必要なので、この答えを書いている間、私はそれを空中から引き出しました。それは私たちがあまり計算するのに役立たないかもしれませんが、それでもいくつかのことを概念的に明確にするのに役立ちます。摂動論が支配的な文化では、物事について概念的に明確で数学的に明白な非摂動的な考え方を持つことは、多くの価値があります。また、連続時空のAQFTとは異なり、格子AQFTは、（格子）QEDや（格子）QCDなど、多くの重要で物理的に関連性のあるモデルに対応することが知られています。