【０８９】深層学習リーディングノート：Ｐ２９プルーフトレースＴｒ（ＡＢ）＝ Ｔｒ（ＢＡ）

Deep Learning Reading Notes

m行n列の行列Aは既知であり、n行m列の行列Bは既知です。 Trはトレース操作を表します。 Tr（AB）= Tr（BA）であることを証明します。

証明：
注文A_x、y行列Aの行Aと列yの要素を表します。C= ABとします。 D = BA。 Cはm次の正方行列です。 Dはn次の正方行列です。 AとBについて、次のように別々に表現できます。

トレース操作は行列の対角線のみを計算するため、正方行列Cの対角線のみを考慮することができます。

C_1.1= A_1.1B_1.1+ A_1.2B_2.1+···+ A_1、nB_n、1

C_2.2= A_2.1B_1.2+ A_2.2B_2.2+···+ A_2、nB_n、2

..。

C_んん= A_m、1B_1、m+ A_m、2B_2、m+···+ A_m、nB_{> n、m}

上記の式に従って、Cを使用します_{一言もない}m番目の正方行列ABの行jと列jの要素を表すと、次の法則が得られます。

トレース操作は行列の対角線の合計のみを計算するため、n次の正方行列Dの対角線のみを考慮することができます。
D_1.1= B_1.1に_1.1+ B_1.2に_2.1+···+ B_1、mに_m、1

D_2.2= B_2.1に_1.2+ B_2.2に_2.2+···+ B_2、mに_m、2

..。

D_n、n= B_n、1に_1、n+ B_n、2に_2、n+···+ B_n、mに_m、n

次数nの正方行列BAの行rと列nの要素をDとします。_r、r。

混乱を引き起こすことなく、合計ラベルは任意であるためです。 j = k、i = rにすることができます

したがって、Tr（AB）= Tr（BA）

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より一般的な結論を得ることができます。複数の行列を乗算して得られる正方行列のトレースは、これらの行列の最後を乗算した後のトレースと同じです。もちろん、行列を移動した後でも、行列の積が明確に定義されていることを考慮する必要があります。検証プロセスは次のとおりです。

行列を移動した後も行列積が明確に定義されている状態で、Fを使用します。^（私）i番目の乗算行列を表し、検証します

証明：