ポアンカレの再発定理を使用したアーノルドによる楽しい問題

Fun Problem Arnold Using Poincar Recurrence Theorem

解決：

$ 2 ^ {46} = 70368744177664 $なので、7は間違いなく表示されます。

数値$ x $の最初の桁は、次の場所で見つけることができます。

$$ left lfloor10 ^ {frac left（ log x right）} right rfloor $$

ここで、$ log $は10を底とする対数です。したがって、最初の桁は7iffです。

$$ log7 le frac left（ log x right） lt log8 $$

そしてそれは8iffです：

$$ log8 le frac left（ log x right） lt log9 $$

$$ log {2 ^ n} = n log2 $$

$ left [0; 1 right）$内の任意の範囲の値が表され、それらの頻度は範囲のサイズに比例します（つまり、分布が均一になります）。 $ log9- log8 lt log8- log7 $なので、$ 7 $の数字は$ 8 $よりも頻繁に表示されます。一般に、数字が小さいほど、表示される頻度が高くなります。

実際、私は自分のコンピューターに$ 0 le n lt 1000000 $の$ 2 ^ n $の最初の桁を計算させましたが、次のようになりました：$$ begin {matrix} 1：＆301030 \ 2：＆176093 \ 3 ：＆124937 \ 4：＆96911 \ 5：＆79182 \ 6：＆66947 \ 7：＆57990 \ 8：＆51154 \ 9：＆45756 \ end {matrix} $$

これらのカウントはすべて$ 1000000 cdot left（ log { left（d + 1 right）}- log {d} right）$にほぼ等しいことに気付くでしょう。

ヒント：

1つは$ x_n：= log_ {10} bigl（2 ^ n bigr）= n > kappa $です。ここで、$ kappa：= log_ {10}（2）$は不合理です。したがって、$ x_n $は$ 1 $を法として一様分布します。ベンフォードの法則も参照してください。

これには、ポアンカレの再発定理は必要ありません。

1つと、高い動物がどのようにジャンプできるかについての質問（もちろん、動物がボックスで近似されている場合）を覚えています！本当に素敵な本。いずれかの方法！ $ 2 ^ n = a times10 ^ k $、$ 1 leqaと書きたいと思います<10$, and then take the base 10 logarithm, to get $n log_{10}2=k+log_{10}a$. Now I'll just say that the $k$ is unimportant, so we have $n log_{10}2equiv log_{10}a ,(mod 1)$. The modulo should remind you of a certain geometrical object, so you can apply the theorem and note that probablities are proportional to lengths, and you should find for example $$P_7=P(7leq a< 8)=P(log_{10}7leq a< log_{10}8)=log_{10}8-log_{10}7approx 5.8\%,$$ and similarly $P_8approx 5.1\%$, which is a bit unintuitive. I had to tell my computer to do a little loop and confirm it, as I expected there to be more 8's than 7's!