関数とは何かを正確に定義するにはどうすればよいですか？

How Do I Define Exactly What Function Is

5xumは正しいです-あなたの定義は十分ではありません。しかし、あなたはあなたの定義が

関係$ R subset（D times C）$は関数 if：$$（ forall（d_1、c_1） in R）（ forall（d_2、c_2） in R）（d_1 = d_2 rightarrow c_1 = c_2）$$

は数学のいくつかの分野で私たちが気にかけていること！これは部分関数$ D to C $と呼ばれます。

部分関数は、再帰関数（または$ mathbb {N} $から$ mathbb {N} $までの計算可能関数）の理論で特に使用されます。

関数を定義する通常の方法は、あなたが正しいですが、関係によるものです。ただし、たとえば、空の関係が定義に適合するため、定義は適切ではありません。

正しい定義は次のように言う必要があります：

関係$ R subset A times B $は関数もしも各 $ A $の要素$ a $はに含まれています ちょうど1つ 関係$（a、b） in R $

純粋に言えば、これは次のように書くことができます

$$ forall a in A が存在します！ b in B：（a、b） in R $$

$ exists！$数量詞は、「正確に1つ存在する」ことを意味します。より長いバージョン（$ exits $と$ forall $のみ）は次のようになります

$$ forall a in A exists b in B：（（a、b） in R land forall b ' in B：（a、b'） in R implies b = b '）。$$

複数の入力の関数に関する他の質問への回答：

いいえ、機能は常に バイナリ 関係。 '複数の関数（たとえば、$ n $入力'は実際にはその関数です ドメイン デカルト積です。したがって、たとえば、$ n $の実数の関数は、実際にはその関数です。 ドメイン $ mathbb R ^ 3 $と同じです。

これは、技術的には、たとえば$ f（x、y）= xy $と書くべきではないことを意味します。 $ f $は取るだけなので、$ f（（x、y））= xy $と書く必要があります一入力、およびその入力は タプル 2つの数の。

カテゴリー