キュムラント展開とファインマンダイアグラム展開を統合するにはどうすればよいですか？
How Unify Cumulant Expansion
解決：
ここでの展開は、さまざまな量に対して行われます。1つはグリーン関数用で、もう1つは熱力学的ポテンシャル用です。後者は確かにキュムラントの拡大に似ていますが、大きな欠点があります。$ 1 / n $さまざまな展開次数での図に関連付けられた係数。これにより、無限級数の合計が防止されます。これは、グリーン関数の拡張では問題ではありません。$ 1 / n！$テイラー展開では、の存在によってキャンセルされます$ n！$トポロジー的に同等の図。
Abrikosov、Gorkov、Dzyaloshinskiの本からの引用で私の主張を支持させてください。 
何が繋がっていると定義されているのか、何が繋がっていないと定義されているのかについて誤解があると思います。させて$ Z $なれ$$ Z = int [ mathrm {d} varphi] 、e ^ {iS [ varphi]} 、。 $$機能的$ Z $は発散しますが、摂動的にすべての「バブル」図によって計算されます。これは、外部脚のないすべての図を意味します。それらは次のような図です$ V_1、V_2 $写真の中の。
当然のことながら$$ Z = prod frac {（V_i）^ {n_i}} {n_i！} 、。 $$次に、計算したいとき$ n $-ポイント相関関係子$$ langle varphi_1 cdots varphi_n rangle = int [ mathrm {d} varphi] 、 varphi_1（x_1） cdots varphi_n（x_n）、e ^ {iS [ varphi]} 、、 $$次の貢献を合計する必要があります$$ langle varphi_1 cdots varphi_n rangle = left（ begin {aligned}＆ mbox {$ n $ -point} \＆ mbox {diagram} end {aligned} right） cdot prod frac {（V_i）^ {n_i}} {n_i！} $$NS '$ n $-ポイントダイアグラムを接続する必要はありません！要件は、外部ポイントが接続されていない接続コンポーネントがないことです。これらの役に立たないバブル図を削除するには、パーティション関数で除算するだけで十分です。それが分母があなたのために行うことです。切断された図を取り除くのではなく、バブル要因を取り除くだけです。
切断された図を削除するには、さらに作業が必要です。そして、これはまさにキュムラント膨張によって行われることです。言い換えれば、のログを取る$ n $-ポイント相関関係子は、接続された貢献のみを自動的にカウントします！
これは、組み合わせ論的証明によって証明されています。に素晴らしい証拠があります$ [1] $セクション5.3.2。しかし、一言で言えば、議論は次のとおりです。$$ Z [J] = int [ mathrm {d} varphi] 、e ^ {iS [ varphi] + int J varphi} ,, qquad W [J] = log frac { Z [J]} {Z} 、。 $$概略を示すために、両方を展開させてください$ Z $と$ W $それらが機能であるかのようにテイラーで。実生活では、代わりに多重積分を作成する必要があります。^ 1 $ $$ Z [J] = sum_ {n = 0} ^ infty frac {1} {n！} J ^ n Z ^ {（n）} [0] 、。 $$同様に$ W $。定義しましょう$ mathcal {W} $接続された図の母関数として。今回の接続とは、実際に接続されていることを意味します。つまり、すべてのポイントが一連のプロパゲーターによって他のポイントに接続されています。見せたい$ mathcal {W} = W $。への最も一般的な貢献は何ですか$ Z $注文時に$ J ^ n $？これは接続された図の積であるため、ポイントの総数は次のようになります。$ n $。つまり、$$ frac {Z ^ {（n）}} {Z} = sum _ { substack { sum n_i = n、\ n_i> 0}} prod_ {i} frac1 {n_i！} mathcal { W} ^ {（n_i）} = prod_ {i = 1} ^ n sum_ {n_i} frac1 {n_i！} mathcal {W} ^ {（n_i）} 、。 $$制約に注意してください$ n_i> 0 $：それは私たちが割ったという事実から来ています$ Z $。これにより、製品は最大で最後の等値範囲になります。$ n $。したがって$$ frac {Z [J]} {Z} = sum_ {n = 0} ^ infty frac {1} {n！} prod_ {i = 1} ^ n sum_ {n_i} frac1 { n_i！} mathcal {W} ^ {（n_i）} J ^ {n_i} = sum_ {n = 0} ^ infty frac {1} {n！} mathcal {W} [J] ^ n = exp mathcal {W} [J] 、。 $$これは証明します$ W = mathcal {W} $。
$ {} ^ 1 ; $つまり、$$ Z [J] = sum_ {n = 0} ^ infty int mathrm {d} x_i cdots int mathrm {d} x_n 、 frac {1} {n！} 、J（ x_1） cdots J（x_n） frac { delta ^ n} { delta x_1 cdots delta x_n} Z [J] big | _ {J = 0} 、。 $$
$ [1] ; $ル・ベラック氏 「場の量子論と統計的場の理論」 オックスフォード大学出版局