三角法

三角形の角度の合計が$ 180 $度の場合、$ sin（270）$はどのように可能ですか？



If Sum Triangle Angles Is 180 Degrees



解決：

あなたは正しいです。によって$ sin theta $つまり$ frac { text {opposite}} { text {hypotenuse}} $それから$ 270 $なし確かに無意味です。したがって、それを言うのは少し不誠実です$$ sin theta：= frac { text {opposite}} { text {hypotenuse}} 、。 $$（NS$：= $記号は、「に等しいと定義されている」を意味します。）

数学者がこの正確な理由で上記の定義を使用することはめったにありません。定義は次の場合にのみ適用されます。$ 0< heta < 90$。以下に適用される定義があると、はるかに便利です。 全て の値$ theta $、負の値でも。この新しい拡張された正弦の定義を作成するには、単位円を使用します。



単位円

単位円は、半径が1の円です。図に示すように、単位円に三角形を配置すると、次のことがわかります。$$ sin theta = frac { text {opposite}} { text {hypotenuse}} = frac { text {opposite}} {1} = text {opposite} = y text {-coordinate} 、。 $$これまで、正弦の古い定義を使用してきましたが、必要に応じて$ sin theta $意味のある値を持つ$ theta $間ではありません$ 0 $と$ 90 $度、それから私達はそれを言うことができます$ sin theta $単に$と$-行くときに調整する$ theta $点から開始して、単位円を中心に反時計回りに度$（1,0）$。この文脈では、直角三角形についてはもはや話していません。定義は、大きさや小ささに関係なく適用されます。$ theta $は。これは多くのことを理解する必要があり、なぜこのようにサインを定義するのかが不明確な場合があります。これを行う理由は2つあります。



  1. この定義は、次の場合に意味があります。$ theta $は どれか 一方、正弦の直角三角形の定義は、次の場合にのみ意味があります。$ 0< heta < 90$。*
  2. いつ$ theta $ は の間に$ 0 $と$ 90 $度、次に正弦の2つの定義（古いものと新しいもの）は「同意します」。例えば、$ $ 30なし斜辺に対する反対側の比率の両方であり、 と NS$ y- $あなたが行くときに調整する$ 30 $単位円の周りを反時計回りに度。これは偶然ではありません。私たちは文字通り、古い定義が次の場合にも適用されるようにサインを定義しました$ 0< heta < 90$。

何かの定義を拡張することは、数学では非常に一般的です。あなたはおそらく以前にそれを見たことがあります。たとえば、$ n $は正の整数です、私たちはそれを言うことができます$$ a ^ n = underbrace {a times a times a times a times cdots times a} _ {n text {times}} 、。 $$しかし、あなたはおそらく何を知っていますか$ 9 1/2は。また、$ 9 1/2上記のように定義すると意味がありません。代わりに、私たちはそれを言います$$ a ^ {p / q} =（ sqrt [q] a）^ p 、。 $$この意味は$ 9 ^ {1/2} = sqrt {9} = 3 $。なぜこのように指数を定義するのですか？これは、べき乗の本質的な特性が新しい定義の下で保持されているためです。いつ$ m $と$ n $正の整数であり、$$ a ^ {m + n} = a ^ m times a ^ n 、。 $$定義すると$ a ^ {p / q} $なので$（ sqrt [q] a）^ p $、それでもそれは本当です$$ a ^ {m + n} = a ^ m times a ^ n $$ときでさえ$ m $と$ n $それは いいえ 正の整数。三角法の場合、単位円に三角形を配置すると、$ y- $三角形の座標はに等しい$ sin x $。サインの定義を拡張すると、このプロパティは次の場合でも保持されます。$ theta $間ではありません$ 0 $と$ 90 $度。また、正弦グラフには、次のような多くの優れた対称性があることも意味します。$ sin（ theta）=- sin（- theta）$。

サークルトリガーアニメーション

この楽しいアニメーションを共有してくれたcongusbongusの功績です。出典：説明しやすい視覚的に魅力的な数学の概念。



*いつ$ theta $が負の場合、反時計回りに移動する代わりに、単位円の周りを時計回りに移動します。負の数を正の数の「反対」と考えると、これは論理的に思えます。

この投稿にアクセスできるようにするために、複素数については触れませんでした。ただし、正弦の定義をさらに拡張できることは注目に値するかもしれません。テイラー級数の正弦を考えると、$$ sin theta = theta- frac { theta ^ 3} {3！} + frac { theta ^ 5} {5！}- frac { theta ^ 7} {7！} + cdots $$そうすればRHSは$ theta in mathbb {C} $。したがって、テイラー級数の正弦を導出できる結果として扱うのではなく、代わりにそれを 意味 サインの。あなたは間違いなく行くことができません$ i $単位円の周りを反時計回りにラジアン。しかし、あなたは できる プラグ$ i $式に$$ theta- frac { theta ^ 3} {3！} + frac { theta ^ 5} {5！}- frac { theta ^ 7} {7！} + cdots 、。 $$したがって、私たちは定義するかもしれません$ sin z $なので$$ z- frac {z ^ 3} {3！} + frac {z ^ 5} {5！}- frac {z ^ 7} {7！} + cdots $$すべてのために$ z in mathbb {C} $。したがって、もう一度、正弦はより抽象的になりますが、より強力になります。


「三角法」という言葉は元々「三角形の測定」を意味していましたが、三角法は実際には単なる三角形以上のものです。式$ operatorname {sine} = operatorname {反対}÷ operatorname {斜辺} $直角三角形の角度について話すときは正しいですが、それは角度が幾何学に現れる方法のほんの一部であり、幾何学自体は正弦が良いものの一部にすぎません。ですから、ここから始めましょう。しかし、サインにはそれ以上のものがあります。

これまでの質問の下に表示された2つのコメント（Deepakとrunway44による）は、直角三角形を超えたジオメトリでのサインの使用法を紹介します。これまでのところ（Christian Blatterによる）もう1つの答えは、非幾何学的なアプリケーションを示唆しています。それは、時間の経過に伴う循環プロセスです。 （ETA：そして今、ジョーによる、両方について話している別の答えがあります。）これらはすべて、三角法を理解するために学びたいことです。しかし、あなたの質問に対する簡単な答えは、あなたの公式が直角三角形の特別な場合にのみ適用されるということです。


関数の定義$ sin（ alpha）$あなたが言及したことは正しいですが、$ 90> alpha> 0 $

この関数のより良い定義は次のとおりです。$ sin（ alpha）：= y $原点を持つ単位ベクトルの座標$（0、0）$、ベクトルとの間の角度が$ x $軸は$ alpha $。次の場合、最初の定義と同じ結果が得られます。$ 90> alpha> 0 $、ただし、どのような場合でも機能します$ alpha $。