シェル定理は単なる近似ですか？
Is Shell Theorem Only An Approximation
解決：
あなたが言うように、あなたが粒子を境界に非常に近くに置くならば、それに非常に近い物質からの力は非常に強くなります。しかし、それはシェルのごく一部にすぎません。残りはすべて、中心に向かって反対方向に引っ張っています。シェル定理は、これらの力が正確にキャンセルされることを保証します。
数学的な形式のほとんどは、質問で参照するウィキペディアのページで扱われます。そこで、シェル定理を証明するために、シェルは単位面積あたりの質量$ sigma $を持ち、それを多数の同軸リングに分割し、軸はテスト質量を通る直径に沿って走っています。 $ theta $は、テストマスを通る直径と、球の中心からリングの1つまでの線との間の角度です。
要点にスキップすると、半径$ R $および質量$ M $の球の中心から距離$ r $のテスト位置で、薄いリングの1つによって生成された重力場を見つけることができます。ここで$ s $は、テスト位置からリング上の点までの距離です。
$$ dg = frac {GM} {4Rr ^ 2} left（1- frac {R ^ 2-r ^ 2} {s ^ 2} right） ds $$これは、$$ g = に統合されます。 left [ frac {GM} {4Rr ^ 2} left（s + frac {R ^ 2-r ^ 2} {s} right） right] ^ {s _ { rm max}} _ {s_ { rmmin}}。$$
完全な球殻の場合、制限は$ s _ { rm min} = Rr $（$ theta = 0 $の場合）から$ s _ { rm max} = R + r $（$ theta = pi $の場合）および結果はゼロです-これはシェル定理であり、 $ r leq R $の任意の値 。
しかし、あなたの特定の質問に答えるために、テストポイントがシェルの表面に非常に近づき、反対側を圧倒するので、なぜテストポイントに最も近いシェルの部分が無限に向かって爆発しないために重力場がないのですか（しかし明らかに有限）球の残りの部分に分布する質量によって生成された場？
上記の式と、$ r $が$ R $に非常に近い（ただし小さい）場合の動作を確認してください。この場合、$ s _ { rm min} simeq 0 $、および$（R ^ 2-r ^ 2）/ s simeq 2R $の結果、 有限の 下限。
言い換えれば、何が起こっているのかというと、テスト質量に「微小に近い」質量の量が微小になり、この質量の重力効果が無限に吹き飛ばされないようにするということです。
シェル定理は、シェル内の物質の連続分布を前提としています。
実際の物理的なシェルに非常に近づいた場合、それも粒子でできていることがわかります。シェルを通過すると、次の2つのいずれかが発生します。
粒子の1つに衝突して、非重力を経験する可能性があります。
シェルの穴を通り抜けて外側に出ることができます。
2番目のケースは興味深いものです。連続シェルの場合、内側の力（ゼロ）と外側の力（シェルの中心の点質量に相当）の間に不連続性があります。球殻の小さな穴を通過する粒子の場合、不連続性は滑らかになります。粒子が穴の中心を通過しない場合、平滑化された重力には、シェルの表面に平行な成分が含まれます。詳細は、シェルがどれだけ「不器用」であるかによって異なります。