アークサイン関数の合計の公式の証明$ arcsin x + arcsin y $



Proof Formula Sum Arcsine Functions Arcsin X Arcsin Y

解決:

これを使用して、$ displaystyle- frac pi2 leq arcsin z le frac pi2 $ for $ -1 le z le1 $

したがって、$ displaystyle- pi le arcsin x + arcsin y le pi $



繰り返しますが、$ displaystyle arcsin x + arcsin y = begin {cases} \- pi- arcsin(x sqrt {1-y ^ 2} + y sqrt {1-x ^ 2})& mbox {if}- pi le arcsin x + arcsin y<-fracpi2\ arcsin(xsqrt{1-y^2}+ysqrt{1-x^2}) &mbox{if } -fracpi2learcsin x+arcsin ylefracpi2 \ pi- arcsin(xsqrt{1-y^2}+ysqrt{1-x^2})& mbox{if }fracpi2

他の三角関数の比率と同様に、$ left [0、 frac pi2 right] $の角度は$ ge0 $です。



したがって、$ displaystyle arcsin z begin {cases} text {lies in} left [0、 frac pi2 right]& mbox {if} z ge0 \ text {lies in} left [- frac pi2,0 right]& mbox {if} z<0 end{cases} $

場合 $(i):$ $ displaystyle x cdotyの場合は注意してください<0 (1)$ i.e., $x,y$ are of opposite sign, $displaystyle -fracpi2learcsin x+arcsin ylefracpi2$

場合 $(ii):$ $ x> 0、y> 0 $の場合、$ displaystyle arcsin x + arcsin y $は、$ displaystyle arcsin x le fracに従って、$ displaystyle le frac pi2 $になります。 pi2- arcsin y $



しかし、$ displaystyle arcsin y + arccos y = frac pi2、$として、$ displaystyle arcsin x le arccos y $が必要です。

ここでも、逆余弦比の主値は$ in [0、 pi]にあるため、$ $ displaystyle arccos y = arcsin(+ sqrt {1-y ^ 2}) implies arcsin x le arcsin sqrt {1-y ^ 2} $

$ displaystyle left [0、 frac pi2 right]、$で正弦比が増加しているので、$ displaystyle x le sqrt {1-y ^ 2} iff x ^ 2 le1-yが必要です。 ^ 2 $ as $ x、y> 0 $

$ displaystyle はx ^ 2 + y ^ 2 le1 (2)$を意味します

したがって、$(1)、(2)$は、$ displaystyle arcsin x + arcsin y le frac pi2 $の必須条件です。

場合 $(iii):$

$ displaystyle- frac pi2 arcsin(-u) le frac pi2 iff- frac pi2 arcsin(u) le frac pi2 $として

$ arcsin(-u)=- arcsin u $

この事実を使用して、$ xの場合の同様の条件を見つけます<0,y<0$ setting $x=-X,y=-Y$


させて$ a = sin ^ {-1} x、$ $ b = sin ^ {-1} y は sin a = x、$を意味します $ sin b = y $$ a、b in [- pi / 2、 pi / 2] は、a + b in [- pi、 pi] $を意味します $$ sin(a + b)= sin a cos b + cos a sin b = x sqrt {1-y ^ 2} + y sqrt {1-x ^ 2} \ = sin bigg [ sin ^ {-1} Big(x sqrt {1-y ^ 2} + y sqrt {1-x ^ 2} Big) bigg] \はa + b = colorを意味します{赤} { sin ^ {-1} x + sin <-1} y = n pi +(-1)^ n sin ^ {-1} Big(x sqrt {1-y ^ 2 } + y sqrt {1-x ^ 2} Big)} $$ ケース1: $- dfrac { pi} {2} leq sin ^ {-1} x + sin ^ {-1} y leq dfrac { pi} {2} $ $$ color {darkblue} { sin ^ {-1} x + sin ^ {-1} y = sin ^ {-1} Big(x sqrt {1-y ^ 2} + y sqrt {1-x ^ 2} Big)} $$ $$ cos(a + b) geq0 は cos a cos b- sin a sin b geq0 は cos a cos b geq sin a sin b \ sqrt {1を意味します-x ^ 2} sqrt {1-y ^ 2} geq xy は\ a) 1-x ^ 2-y ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-x ^ 2y ^ 2 geq0 はxを意味します^ 2 + y ^ 2 leq1 \ b) 1-x ^ 2-y ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-x ^ 2y ^ 21、xy<0 $$ ケース2&3: $ dfrac { pi} {2}$- pi leq sin -1 x + sin -1 y<-dfrac{pi}{2}$ $$ cos(a + b)1 $$

ケース2-: $ dfrac { pi} {2} $$ sin ^ {-1} Big(x sqrt {1-y ^ 2} + y sqrt {1-x ^ 2} Big)= pi-( sin ^ {-1} x + sin ^ {-1} y)\は color {darkblue} { sin ^ {-1} x + sin ^ {-1} y = pi- sin ^ {-1} Big( x sqrt {1-y ^ 2} + y sqrt {1-x ^ 2} Big)} $$ $$ dfrac { pi} {2} ケース3-: $- pi leq sin -1 x + sin -1 y<-dfrac{pi}{2}$

$$ sin ^ {-1} Big(x sqrt {1-y ^ 2} + y sqrt {1-x ^ 2} Big)=- pi-( sin ^ {-1} x + sin <-1} y)\は color {darkblue} { sin <-1} x + sin <-1} y =- pi- sin ^ {-1} Big(x sqrt {1-y ^ 2} + y sqrt {1-x ^ 2} Big)} $$ $$- pi leq sin -1 x + sin -1 y<-dfrac{pi}{2} ;&;-dfrac{pi}{2}leqsin^{-1}x,;sin^{-1}yleqdfrac{pi}{2}\ implies -dfrac{pi}{2}leqsin^{-1}x,sin^{-1}y< 0implies -1leq x,y< 0 $$


両側の正弦を取り、角度加算式を使用してから、$ cos arcsin t = sqrt { cos ^ 2 arcsin t} = sqrt {1- sin ^という事実を使用してさらに単純化します。 2 arcsin t} = sqrt {1-t ^ 2} $。次に、$ arcsin $関数を両側に適用すると、完了です。