Levi-Civitaシンボルがテンソルであることの証明

Proof Levi Civita Symbol Is Tensor

解決：

$ R ^ i_j $がユークリッド$ 3 $空間の直交線形変換の行列のコンポーネントである場合、アフィンテンソル$ epsilon_ {ijk} $の一般的な変換ルールは$$ epsilon '_ {ijk } = R ^ p_iR ^ q_j R ^ r_k epsilon_ {pqr}。$$

ここで$ epsilon $はLevi-Civitaシンボルであり、その値は座標系ではなく数値インデックス$ i、j、k $（つまり、$ epsilon '= epsilon $）にのみ依存するため、これは$$ epsilon_ {ijk} = R ^ p_iR ^ q_j R ^ r_k epsilon_ {pqr}。$$と同じ

$ epsilon_ {pqr} $は縮退した多重指数で消滅するため、右側は6つの項（適切な多重指数ごとに1つ）のみで構成され、$ R ^ 1_iR ^ 2_jR ^ 3_k --R ^のように見えることに注意してください。 2_iR ^ 1_jR ^ 3_k + cdots $。これを評価するには、考慮すべき3つのケースがあります。

• $ i、j、k $のいずれか2つが同じ値を共有する場合、条件はペアごとに互いにキャンセルされ、$ 0 $が得られます。
• $ ijk $が偶数の順列である場合、これは行列式の単なるライプニッツ式であり、右辺は$ det（R）$です。
• $ ijk $が奇数の順列である場合、前の計算から$- det（R）$を回復するために、すべての項でコンポーネントをペアごとに交換できます。

したがって：$ R $が ちゃんとした （$ det = 1 $）直交変換では、右側が左側と一致し、$ epsilon $がランク$ 3 $の正直なアフィンテンソルのように動作することがわかります。一方、$ R $が不適切な場合（$ det = -1 $）、$$ R ^ p_iR ^ q_j R ^ r_k epsilon_ {pqr} =- epsilon_ {ijk}。$$ This Levi-Civitaシンボルは、適切なアフィンテンソルではなく、擬テンソルであると述べています。