シーケンスとシリーズ
内積についてのあなたの疑惑は完全に正しいです。三角多項式$ { sin(nx)、 cos(mx)} $(おそらく変換およびスケーリング)が形成されることが知られています
すべての$ x> 0 $に対して$ 0 < arctan x
これは、逆数の合計が$ 1 $になることが知られているシルベスター数列です。あなたが持っているシーケンスは、シルベスター数列の2倍から$ 1 $を引いたものです。だからあなたの往復の合計
一般に、$$ F( alpha)= sum_ {n = 1} ^ infty frac { cot(n pi alpha)} {n ^ 3} $$は収束し、$ alphaのときに明示的に計算できます。 $は二次の無理数です。 NS
次の方法で、フェイェール核の同等性を証明できます。等比数列の式と$ e ^ {i theta} -e ^ {-i theta}
この回答の$(3)$では、$$ sum_ {k in mathbb {Z}} frac {(-1)^ k} {k + z} = pi csc( pi z) tag {1} $$ $(1)$に$ z mapsto-z $を代入し、
べき級数$$ S(x)= sum_ {n = 0} ^ { infty}(-1)^ n x ^ n、 qquad x in 0; 1)を考えてみましょう。 $$等比数列です:$$ sum_ {n = 0} ^ { infty}(-x)^ n = frac {1} {1-(-x)} =