確率変数の変換$ Y = X ^ 2 $

Transformation Random Variable Y X 2

解決：

$ X $の密度関数$ f_X $が$ X $の累積分布関数$ F_X $について何を示しているかを確認することから始めましょう。 $- inftyの場合$ f_X（x）= 0 $なので

ここで、$ Y = X ^ 2 $について考えてみましょう。この変数は明らかに非負であり、$ X $は$ [-1,2] $でサポートされているため、$ Y $が$ [0、 max（（-1）^ 2,2 ^でサポートされている必要があります。 2）] = [0,4] $。変数$ X $（確率$ 1 $）は[-1,2]の値を取り、$ X ^ 2 $は$ [0、 max（（-1）^ 2、（ 2）^ 2）] $。したがって、$ y in [0,4] $の範囲の$ F_Y（y）$を理解するだけで済みます。今、私たちは常に持っています

$$ F_Y（y）= P（Y

ただし、$ f_X $は区分的に定義されているため、この時点で続行するには、いくつかのケースを分析する必要があります。 $ y leq 0 $の場合は$ F_Y（y）= 0 $であり、$ y geq 4 $の場合は$ F_Y（y）= 1 $であることはすでにわかっています。

$ 0 leq y leq 1 $の場合、$ [- sqrt {y}、 sqrt {y}] $は$ [-1,1] $に含まれ、$ [-1,1] $には密度関数が含まれます。は$ f_X（x）= frac {1} {3} x ^ 2 $なので、次のように記述できます。

$$ F_Y（y）= int _ {- sqrt {y}} ^ { sqrt {y}} frac {1} {3} t ^ 2 、dt。 $$

ただし、$ 1の場合

$$ F_Y（y）= int _ {- sqrt {y}} ^ {-1} f_X（t）、dt + int _ {-1} ^ { sqrt {y}} f_X（t）、 dt = int _ {-1} ^ { sqrt {y}} frac {1} {3} t ^ 2 、dt。 $$

数値の2乗が$ 0 $から$ 1 $の間の場合、数値自体は$ -1 $から$ 1 $の間でなければなりません。同様に、$-0.5 $と$ 0.5 $の二乗は両方とも$ 0.25 $です。ただし、実数では負の二乗は生成されません。これは番号の性質とは関係なく、固定のものでもランダムに選択されたものでもかまいません。そう、

$$ P（X ^ 2

$ y geq 1 $の場合、$ -1 $と$ sqrt y $の間のすべての数値の2乗は$ y $未満になります。そう

$$ P（X ^ 2

$$ P（X ^ 2

これが理由です

$$ P（X ^ 2

残りは、それぞれのドメインでpdfを統合することによって提供されます。