$ limsup $の2つの定義

Two Definitions Limsup

解決：

最初の定義には、表記法と完全に一致するという大きな利点があります。それは、$ limsup_na_n $を次のように定義します。 制限 （$ n to infty $として） 最高 （シーケンスのテールの）。シーケンスの動作はテールによって決定されるため、これは非常に自然なことです。大まかに言えば、すべての有限の初期セグメントで多かれ少なかれ無意味な変動を無視できれば、シーケンスの上限は「あるべき」ものです。このような変動はシーケンスのはるか遠くにある可能性があるため、文字通りそれを行うことはできませんが、制限内で行うことはできます。 $ u = limsup_na_n $とします;シーケンスの任意のテールの上限が$ u $より大きい場合がありますが、そうである場合、後のテールの上限は小さくなり、意味のない「初期」変動がより多く絞り出されます。尾の上部は増加しないシーケンスを形成するため、

$$ limsup_na_n = lim_ {n to infty} sup_ {k ge n} a_k = inf_ {n in Bbb N} sup_ {k ge n} a_k ;。 tag {1 } $$

この定義はまた、要素の任意のセットの上限と下限の概念を持つ任意の完全束のシーケンスに比較的簡単に一般化されます。特に、$ X $がセットの場合、$ wp（X）$は、$ bigcup $を上限、$ bigcap $を下限とする完全束です。 $ langle A_n：n in Bbb N rangle $を$ X $のサブセットのシーケンスとします。最初の定義を一般化する最初の試みは次のようになります。

$$ limsup_nA_n = lim_ {n to infty} bigcup_ {k ge n} A_k ;、$$

しかし、私たちは（まだ）数列の極限の概念を持っていません。ただし、$（2）$の最後の式は、うまく機能します。意味のある定義を行うことができます。

$$ limsup_nA_n = inf_ {n in Bbb N} bigcup_ {k ge n} A_k = bigcap_ {n in Bbb N} bigcup_ {k ge n} A_k ;。$$

さらに良いことに、本質的に無意味な初期変動を取り除くのと同じ一般的な効果があることがわかります。任意のテールの和集合は$ limsup_nA_n $よりも大きい場合がありますが、そうである場合、後のテールの和集合は小さくなります。 、$ A_n $の限られた数にしか存在しないポイントをさらに絞り出しました。

2番目の定義は、実数のシーケンスの極限と下極限の非常に重要な特性を表していますが、最初の定義は、上極限のさまざまなより一般的な概念に簡単にアクセスできると思います。

$ limsup $のより適切な定義は次のとおりです。

$$ limsup_ {n to infty} a_n = inf_ {n ge 1} sup {a_n、a_ {n + 1}、 ldots } $$

$ lim $を定義するには$ limsup $と$ liminf $が必要だからです。

私が$ limsup $を考える方法は、シーケンスの「上極限」の限界です。 $ a_n = left（1 + frac 1n right） sin n $、$ limsup_ {n to infty} a_n = 1 $、$ liminf_ {n to infty} a_n =の場合のように-1 $ですが、制限はありません。

ルーディンは、シーケンスの限界がその限界点の上限であると明確に言っていると漠然と思っていました。間違っている可能性があります。

最初の定義については、$ u_n $を「川のこちら側で最大の要素」と考える必要があります。川を動かし続けると、最大の要素だけが残ります。もちろん、これは非常に不正確ですが、それは私を助けます。