鏡像法を使用して電界を見つける



Using Image Charges Method Find Electric Field



解決:

空間の領域では、フィールドは現在の電荷によって、または特定の境界条件を持つことによって引き起こされます。

この場合、2番目の領域では、電荷がなく、境界のポテンシャルもゼロであるため、1つの答えはフィールドがないことであり、一意性の定理によれば、それが(唯一の)解決策です。




さて、他の2つの領域は、完全導体によって与えられた電荷から保護されています。これらは電界をシールドし、それを超えるとゼロになります。

もう少し厳密に言えば、第2象限($ x0 $)にいるとします。もちろん、$(-a、b)$での鏡像法は存在しませんが、その効果がないという意味ではありません。画像電荷は、実際には、垂直導電面の$(a、b)$での元の電荷によって誘発された表面電荷の優れた表現です。この表面電荷は、導電面の後ろの長さ$ a $の点電荷のように見えます(区別できません)。したがって、第1象限では$(-a、b)$の負電荷のように見えますが、第2象限では元の請求の上に座ってキャンセルします。



同様のことが、第3象限と第4象限の鏡像法でも起こります(必ず起こるはずです)。 $(a、-b)$にあるものは、$(a、0)$を中心とする表面電荷を表したものであるため、2番目から見た場合は$(a、-b)$にある同じ画像電荷のように見えます。四分円。これは、正の$ x $軸と$ y $軸上の原点の周りの表面電荷によって、第2象限でキャンセルされます。これは、(第1象限から)第3象限の鏡像電荷で表されます。合計フィールドはキャンセルする必要があるため、この3番目の誘導電荷は(第2象限から)$(a、-b)$にある正電荷のように見える必要がありますが、これについての簡単な説明はわかりません。


これについて少し詳しく説明します どうやって これらの表面電荷が見つかります。単一の導電面から$ d> 0 $の距離にある正電荷について考えてみます。

導電面上の点電荷の鏡像電荷



便宜上、料金を$ x = y = 0 $に設定します。次に、静電ポテンシャルが$$ phi(x、y、z)= left { begin {array} quad \ frac {q} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + (zd)^ 2}}- frac {q} { sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 +(z + d)^ 2}} quad text {if} z> 0、\ 0 quad text {if} z<0. end{array} ight. $$ The potential is zero and continuous at the boundary, but its gradient, the electric field, is not. This discontinuity in the electric field is due to the negative surface charge induced on the conductor, and that surface charge can be found から 境界形式でガウスの法則を使用することによる不連続性、$$ hat { mathbf n} cdot left({ mathbf E} _ uparrow-{ mathbf E} _ downarrow right)= frac {1 } {2 epsilon_0} sigma $$ここで、$ hat { mathbf n} $は表面に垂直な上向きの単位であり、$ { mathbf E} _ { uparrow left( downarrow right)} $は表面のすぐ上(下)の電界。$ sigma $は表面の電荷密度です。

私はあなたに数学を任せます;)。