このパターンが発生する理由：$ 123456789 times 8 + 9 = 987654321 $
Why Does This Pattern Occur
解決：
私があなたがあなたの「これまでのアイデア」で提供する方程式を考えるならば：
begin {align} 1 times 9 + 1＆= 10 \ 12 times 9 + 2＆= 110 \ 123 times 9 + 3＆= 1110 \ vdots \ 123456789 times 9 + 9＆= 1111111110、\ end {align}
最初の方程式が真である場合、このシステムは、それらすべてが共通のパターンを持つ連続した差異で構成されるシステムと同等です。
$$ underbrace {11 ... 1} _ {k text {digits}} times 9 + 1 = 10 ^ k $$
これは（ほぼ）明らかな事実です。
合計形式で書き直すと、方程式は次のようになります。
$$ bigg（ sum_ {r = 1} ^ n8r cdot10 ^ {nr} bigg）+ n = bigg（ sum_ {r = 1} ^ n（10-r） cdot10 ^ {nr} bigg）$$にとって$ n in Bbb N cap [1,9] $
RHSを引くと、次のようになります。
$$ n = sum_ {r = 1} ^ n bigg [（10-9r） cdot10 ^ {n-r} bigg] $$
これを誘導によって証明します。
$$ text {Assume} k = sum_ {r = 1} ^ k bigg [（10-9r） cdot10 ^ {k-r} bigg] $$ $$ text {Then} 10k = sum_ {r = 1} ^ k bigg [（10-9r） cdot10 ^ {k + 1-r} bigg] $$ $$ text {So} sum_ {r = 1} ^ {k + 1} bigg [（10-9r） cdot10 ^ {k + 1-r} bigg] = 10k +（10-（9k + 9 ）） cdot10 ^ {（k + 1）-（k + 1）} $$ $$ = 10k +（1-9k） cdot1 = k + 1 text {a.r.} $$
これまでのアイデア：
別の追加$ 123 cdots $両側に次の同等の級数方程式が得られます。 begin {align} 1 times 9 + 1＆= 10 \ 12 times 9 + 2＆= 110 \ 123 times 9 + 3＆= 1110 \ vdots \ 123456789 times 9 + 9＆= 1111111110、\ end {align}したがって、上記のパターンが成り立つことを証明するだけで十分です。私たちは$ n = 1、 dots、9 $、各方程式のLHSに最初の数値を次のように書くことができます。$$ 10 ^ {n-1} cdot（1 + 2 cdot 10 ^ {-1} + cdots + n cdot 10 ^ {-（n-1）}）。 $$させて$ M = 1 + 2 cdot 10 ^ {-1} + cdots + n cdot 10 ^ {-（n-1）} $。我々は持っています$$ begin {align} M＆= 1 + 2 cdot 10 ^ {-1} + cdots + n cdot 10 ^ {-（n-1）} \＆=（1 + 2 cdot 10 ^ {-1} + cdots + n cdot 10 ^ {-（n-1）} + cdots）-（（n + 1） cdot 10 ^ {-n} +（n + 2） cdot 10 ^ {-（n + 1）} + cdots）\＆= frac {1} {（1-10 ^ {-1}）^ 2}-（（n + 1） cdot 10 ^ {-n} +（n + 2） cdot 10 ^ {-（n + 1）} + cdots）。 end {align} $$させて$ N =（n + 1） cdot 10 ^ {-n} +（n + 2） cdot 10 ^ {-（n + 1）} + cdots $。これを次のように書き直すことができます$$ begin {align} M＆= sum_ {k = n + 1} ^ infty k cdot 10 ^ {-（k-1）} = sum_ {k = 1} ^ infty（k + n ） cdot 10 ^ {-（k + n-1）} \＆= sum_ {k = 1} ^ infty k cdot 10 ^ {-（k + n-1）} + n cdot sum_ {k = 1} ^ infty cdot 10 ^ {-（k + n-1）} \＆= 10 ^ {-n} cdot sum_ {k = 1} ^ infty k cdot 10 ^ { -（k-1）} + n cdot 10 ^ {-n} cdot sum_ {k = 1} ^ infty cdot 10 ^ {-（k-1）} \＆= 10 ^ {-n } frac {1} {（1-10 ^ {-1}）^ 2} + n cdot 10 ^ {-n} cdot frac {1} {1-10 ^ {-1}} \＆ = 10 ^ {-n} cdot frac {1 + n cdot（1-10 ^ {-n}）} {（1-10 ^ {-1}）^ 2} end {align} $$つまり、$$ M = frac {1} {（1-10 ^ {-1}）^ 2} -N = frac {1-10 ^ {-n}（1 + n cdot（1-10 ^ {- n}））} {（1-10 ^ {-1}）^ 2}。 $$これで、方程式のLHSを次のように書き直すことができます。$$ begin {align} 10 ^ {n-1} M + n＆= frac {10 ^ {n-1} -10 ^ {-1}（1 + n cdot（1-10 ^ {-n }））} {（1-10 ^ {-1}）^ 2} + n \＆= frac {10 ^ {n-1} -10 ^ {-1}（1 + n cdot（1- 10 ^ {-n}））+ n cdot（1-10 ^ {-1}）^ 2} {（1-10 ^ {-1}）^ 2} end {align} $$