確率

$ HTH $を取得するために予想されるコイントスの数が$ 10 $であるのはなぜですか？



Why Is Expected Number Coin Tosses Get Hth Is 10



解決：

パターンHTHが$ a $になるまで、予想されるトスの数を考えます。

期待してみましょう 追加 Hを投げたばかりの（そして終了していない）待機時間は$ b $です。



最後の2回のトスがHTであると仮定して、予想される追加の待機時間を$ c $とします。

条件付けにより、次の方程式が得られます。



$$ a = 1 + frac {1} {2} b + frac {1} {2} a; $$これは、最初のトスでトスを使い果たしたためです。 Hを取得した場合、予想される追加時間は$ b $です。 Tを取得した場合、進捗はなく、追加の予想時間は$ a $です。

$$ b = 1 + frac {1} {2} b + frac {1} {2} c。$$

$$ c = 1 + frac {1} {2} a。$$



$ a $、$ b $、および$ c $は明らかに有限であるため、上記の3つの線形方程式のシステムを解くことでそれらを見つけることができます。


$ emptyset $を投げる前の状態を示し、それから始めます。最初のトスが$ H $の場合、次の状態に進みます。それ以外の場合は、$ emptyset $のままです。状態$ 1 $から状態$ emptyset $に戻る方法はありませんが、$ H $を投げると、状態1のままになります（$ HTH $が必要なため）。あなたは次のようなものを手に入れるべきです

$ mathbf {P} = begin {bmatrix} frac {1} {2}＆ frac {1} {2}＆0＆0 \ 0＆ frac {1} {2}＆ frac {1 } {2}＆0 \ frac {1} {2}＆0＆0＆ frac {1} {2} \ 0＆0＆0＆1 end {bmatrix} $

状態$ 1 $から$ R $が設定されるまでの平均最初のヒット時間の方程式を編集します。

$$ m_ {1、R} = p_ {1,2} m_ {2、R} +（1-p_ {1,2}）m_ {1、R} $$この場合、3つの未知数を持つ3つの方程式が必要です。


直感 ？ Dunno ...とにかく、$ u $、$ v $、$ w $は、Hをゼロから、HTをHから、HTHをHTから生成するために必要な平均ドロー数をそれぞれ考慮してください。 HTHを生成するために必要な平均ドロー数$ t $を求めています。これは、$ t = u + v + w $です。

$ u = 2 $（成功がHの場合の最初の成功）および$ v = 2 $（成功がTの場合の最初の成功）に注意してください。 HT後の最初のドローがHの場合、このドローはHTHを生成しますが、最初のドローがTの場合、1つのドローが無駄になり、もう1つが初期状態に戻るため、$ t $の追加ドローが必要になります。したがって、$ w = frac12 cdot1 + frac12 cdot（1 + t）$です。

これにより、$ t = u + v + w =​​ 4 + w =​​ 4 + 1 + frac12 cdot t $、つまり$ t = 10 $が生成されます。

エクササイズ： Hの場合は$ p $、Tの場合は$ q = 1-p $の不均一な確率に証明を適合させます。$ t = dfrac1p + dfrac1 {p ^ 2q} $が見つかります。