ニュートン力学に対するラグランジュ力学の利点
Advantages Lagrangian Mechanics Over Newtonian Mechanics
解決：
その根底にある基礎はニュートン力学であるため、ラグランジュ力学を真に理解するにはニュートン力学を研究する必要があります。それは本質的に同じものの異なる定式化です。ある意味で、ラグランジュ力学を行うとき、あなたはまだエネルギーの方法でニュートン力学を行っています。たとえば、ラグランジュ力学では、重力場にある運動エネルギー$ {T = frac {1} {2} m dot {q} ^ {2}} $の粒子があるとします。 V = mgq $。ラグランジアンは$ L = TV $として定義されているため、オイラーラグランジュ方程式を使用すると、$ { frac {d} {dt} frac { partial L} { partial dot {q}}- frac {部分的なL} { partial q} = 0} $の場合、$ m ddot {q} + mg = 0 $が得られます。これは、ニュートンの通常の力の合計であり、この場合、加速度$ ddot {q} $、これは重力加速度$ g $によるものです。
これは同じことを行うための複雑な方法のように見えるかもしれませんが、別の例を使用して、二重振り子[pdfリンク]のようなはるかに複雑なシステムを両方の方法で解き、ラグランジュ力学がなぜ選択の方法。
ラグランジュ力学は、特にダンピングまたは駆動メカニズムを追加し始めた場合に、これらの複雑なシステムを解決するためのはるかにエレガントで直接的な方法を提供することがわかります。
ラグランジュ力学の魅力的な側面の1つは、ニュートン力学の方法よりもはるかに簡単かつ迅速にシステムを解くことができることです。たとえば、ニュートン力学では、制約を明示的に考慮する必要があります。ただし、ラグランジュ力学では制約を回避できます。駆動力や散逸力などを考慮したい場合は、ラグランジュ方程式を非常に簡単に変更することもできます。
いいえ、 非常に ラグランジュ力学の前にニュートン力学を勉強することをお勧めします。はい、ニュートン流体の前にラグランジュ力学について学ぶことは「可能」ですが、 多く 直感は、長期的には、あなたに害を及ぼすだけでなく、せいぜい混乱させるだけで、一方から始めて失われます。しかし、確かに、この形式には多くの利点があります。
ERKの答えにはいくつかの正当な理由がありますが（ NS。 ソリューションの単純さなど）、ソリューションはラグランジュ力学の重要な部分（完全を期すために投稿します）を覆い隠していると思います。これにより、一般化座標での作業が可能になり、完全に不変になります。
ニュートン定式化では、任意の座標系を処理するために法則を明示的に書き直す必要がありますが、ラグランジュ定式化（正しく思い出せば、元のニュートン定式化よりもわずかに弱い）により、任意の座標系を処理できます。私たちの問題に合ったスペースで。
簡単な例は、各定式化を極座標（2D）で書き直すことです。力の定義を2次元で書き直すことを検討してください（$ m = 1 $と仮定）：$$（ ddot r --r dot theta ^ 2） hat e_r +（r ddot theta +2 dot r dot theta） hat e_ theta = a =- nabla U = frac { hat e_ theta} {r} partial_ theta U + hat e_r partial_r U $$
ここで、LHSのほとんどの用語は、基底ベクトルの微分から生じます（各ポイントで変化するため）。一方、ラグランジアン式は通常の形式を保持します。$$ begin {align} partial_r L＆= frac {d} {dt} partial_ dot r L \ partial_ theta L＆= frac {d} {dt} partial_ dot theta L end {align} $$
そして、私たちがしなければならないのは、極座標で運動/ポテンシャルエネルギーの形式を書き直すことです（問題の対称性を利用するためにこの方法を使用している場合によくあります）。これは特に、制約を明示的に記述して解くのではなく、特定の問題に適した適切な座標系を選択することで制約を適用できることを意味します（ニュートンの方程式でよく行う必要があります）。
さらに、ラグランジアンとそれに対応するアクション（これらの特定の不変性の根本的な理由）から直接証明できる多くの優れた点があります。特に、アクションのすべてのLie対称性が保存則に対応すると述べているネーターの定理です。たとえば、特定のシステムのラグランジアンが時間の微小な変換の下で不変である場合、そのシステムは 総エネルギーが節約されます 。
これらの種類の定理は（理論的には）ニュートンの法則から直接証明できることは事実ですが（奇妙な意味で、それらの結果であるため）、法則の対称性は、この定式化で書き直すまですぐにはわかりません。
おそらく関連する質問：一言で言えば、ニュートン力学とラグランジュ力学の違いは何ですか？、ハミルトニアン力学（およびラグランジュ力学）とは正確には何ですか？
ニュートン力学のため、ラグランジュ力学の前にニュートン力学を勉強する必要があります より一般的です ラグランジュ力学よりも。言い換えれば、システムがラグランジュ定式化を許可するときはいつでも、ニュートン定式化も許可しますが、その逆は 違います ;典型的なケースは、 散逸力 。ラグランジュダイナミクスにより、非常に制限されたクラスの散逸力を処理できます。 NS。 速度に依存するもの それだけ 、たとえばこのオンラインディスカッションを参照してください。しかし、最も一般的なケース（たとえば、硬貨が層状の大気中に落下し、その軸を中心に回転しているが、その対称軸を持っている場合を考えてみてください。 平行ではない その瞬間的な速度まで）は完全にラグランジュ力学の範囲外です。
この例が不自然であると思われる場合は、乱気流層内を移動する飛行機の翼と、揚力係数と抗力係数の計算の重要性について考えてみてください。
同時に、その分野がポテンシャルから導き出せる力に明らかに制限されているのに、なぜ私たちがラグランジュ力学の研究に固執するのかを自問するかもしれません。多くの理由があります：
自然界のすべての基本的な力は、ある種の可能性から導き出すことができます。飛行機を浮かせておくことに関心がありますが、電磁気学、重力、弱い相互作用と強い相互作用はすべてラグランジアンに由来する可能性があることも事実です。
ラグランジアンは、物事を軸に投影してジオメトリの詳細に迷うのではなく、一般化座標での運動方程式の導出を即座に行います。
ラグランジアンは、保存量の存在とラグランジアンの対称性の間の関係を明らかにし（ネーターの定理）、ラグランジアンの対称性の議論を些細なものにすることによって、不変性の原則の議論を容易にします。例として、無限らせんによって生成された場での点粒子の運動の保存量の導出を考えてみましょう。ラグランジアンの対称性から、保存量が何であるかを簡単に示すことができます（これはランダウとリフシッツでの最初の演習;第1巻力学）、ニュートン力学で同じことを試みます。保存量がであるため、らせんによって生成されるフィールドの種類を指定していないことに注意してください。 いつも同じ 、フィールドの性質に関係なく（ポテンシャルから導き出すことができる場合）。
ラグランジアンは、 最小 そして、この最小の性質が それ自体 非常に重要ではありません、それはにつながります 数値近似スキーム （いわゆるリラクゼーション法） それだけ 、そして非常に頻繁に私たちの 一番 具体的な問題へのアプローチ。
古典力学の外への進出を許可していただければ、問題のラグランジアン処理により、QMの非通勤演算子との強力なアナロジーが可能になります。 整流子 と 反通勤者 、これはQMの開発における重要なステップでした。