$ e ^ { pi sqrt N} $は、いくつかの小さい$ N $ sの整数に非常に近いです。 $ pi ^ {e sqrt N} $はどうですか？
E Is Very Close An Integer
解決：
100000まで、$ e ^ { pi sqrt {N}} $がほぼ整数になるようなベスト10の$ N $。エラー$ delta $は、最も近い整数が結果から$ 10 ^ { delta} $になるように与えられます。
$$ begin {array} c N＆ delta \ hline 163＆-12.12 \ 4 cdot163＆-9.79 \ 9 cdot163＆-8.01 \ 58＆-6.75 \ 16 cdot163＆-6.51 \ 67＆-5.87 \ 22905＆-5.61 \ 95041＆-5.55 \ 54295＆-5.37 \ 25 cdot163＆-5.2 \ end {array} $$
ご覧のとおり、$ N $が163から100000まで勝つことはありません。 NS = 4 x 163.）
$ pi ^ {e sqrt {N}} $の場合、動作ははるかに規則的であり、次のようになります。
$$ begin {array} c N＆ delta \ hline 66972＆-5.03 \ 85516＆-5.01 \ 53204＆-4.91 \ 46665＆-4.9 \ 50237＆-4.8 \ 93909＆-4.53 \ 52970＆-4.4 \ 10024＆-4.32 \ 84702＆-4.17 \ 6814＆-4.17 \ end {array} $$
したがって、$ e ^ { pi sqrt {N}} $には、その質問を面白くする奇妙な何かがあるようです。
ヒーグナー数の現象は、次のように一般化できます。
$$ e ^ { pi / a 、 sqrt {-d}} tag1 $$
と 判別式 二次方程式の$ d = b ^ 2-4ac $、
$$ P（N）= ^ 2 + BN + C $$ TAG2
これらの$ d $には非常に興味深いプロパティがあります。
I.素数生成多項式への接続：
あなたはオイラーに精通していると確信しています、
$$ P（n）= n ^ 2 + n + 41 tag3 $$
ただし、 他の $ a neq1 $を使用した最適な素数生成多項式、
$$ P（n）= 2n ^ 2 + 29 tag4 $$
$$ P（n）= 2n ^ 2 + 2n + 19 tag5 $$
$$ P（n）= 3n ^ 2 + 3n + 23 tag6 $$
$$ P（n）= 4n ^ 2 + 163 tag7 $$
$$ P（n）= 6n ^ 2 + 6n + 31 tag8 $$
その他。 $ a、d $の値を$（1）$に使用すると、次のようになります。
$$ begin {aligned}＆e ^ { pi / 1 、 sqrt {163}} = 640320 ^ 3 +743.999999 dots \＆e ^ { pi / 2 、 sqrt {232}} = e ^ { pi sqrt {58}} = 396 ^ 4 -104.0000001 dots \＆e ^ { pi / 2 、 sqrt {148}} = e ^ { pi sqrt {37}} =（84 sqrt {2}）^ 4 +103.99997 dots \＆e ^ { pi / 3 、 sqrt {267}} = 300 ^ 3 + 41.99997 dots \＆e ^ { pi / 4 、 sqrt { 10432}} = e ^ { pi sqrt {4 cdot163}} =（640320 ^ 3 + 744）^ 2-2 cdot color {blue} {196883} .99999 dots \＆e ^ { pi / 6 、 sqrt {708}} = 1060 ^ 2 + 9.99992 dots end {aligned} $$
等々。
- 196884とは何ですか？ （OEIS）
- そしてここで、なぜ$ log（196883） upperx 4 pi $が量子重力にとって重要なのか。 （は？）
これらの素数生成多項式の詳細については、こちらをご覧ください。
II。円周率式への接続：
さらに、これらの整数近似のそれぞれは、ラマヌジャン佐藤円周率の公式で使用できます。もちろん、最も有名なのは$ d = 4 cdot58 $です。
$$ frac {1} { pi} = frac {2 sqrt 2} {99 ^ 2} sum_ {k = 0} ^ infty frac {（4k）！} {k！^ 4} frac {58 cdot455k + 1103} {396 ^ {4k}} $$
III。ペル方程式への接続：
さらに、それらはまた接続されています ペル方程式 。たとえば、次の基本的な解決策は、
$$ x ^ 2-3 cdot163y ^ 2 = 1 $$
$$ x、; y = 7592629975、; 343350596 $$
したがって、基本単位、
$$ U = x + y sqrt {489} = 7592629975 + 343350596 sqrt {489} = big（35573 sqrt {3} + 4826 sqrt {163} big）^ 2 $$
それで、
$$ Big（3 sqrt {3} big（U ^ {1/2} -U ^ {-1/2} big）+6 Big）^ 3 = 640320 ^ 3 $$
詳細については、このMOの投稿をご覧ください。 $ e ^ { pi sqrt {n}} $には、ほぼ整数であるよりもはるかに多くのことがあるようです。