Ag。代数幾何学

平面代数曲線の例



Examples Plane Algebraic Curves



解決：

アフィン平面曲線はどうですか$ Phi_n（c、t）= 0 $分類する$（c、t）$そのような$ t $正確な期間のポイントです$ n $二次マップの反復中$ f_c（X）= X ^ 2 + c $？これらはしばしば呼ばれます ダイナトミックカーブ そして、特にそれらの有理点を説明することが動的な一様有界性予想に関連しているので、近年多くの研究がなされてきました。これらの曲線は既約（Bousch）であり、属（Morton）には、属が無限大になることを示す優れた式があります。トリゴナル曲線も成長することを示すいくつかの作品（プーネン、ドイル、...）もあります。基本的な構造については、例えば私の本のセクション4.1と4.2を見ることができます 力学系の算術 。より一般的には、人々は$ X ^ d + c $。

（私は少しだましました、1つはポイントがポイントである曲線上にいくつかの余分なポイントを含める必要があります$ t $'正式な期間があります$ n $、 'ただし、実際の期間は$ n $。これはミルナーの用語です。）




円からのn次反射によるコースティックスは、FrancoisZieglerによってコメントで進められました。それは確かに代数的であることが知られています。指摘したように、任意の点光源（無限大を含む）からのn次反射のコースティック曲線は、Holditch'On the nth Caustic、by Reflexion from a Circle '、The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics、vol。 2、ロンドン、1858年、301〜322ページ。この論文には、彼のクラスの曲線が実際に代数的であるという証拠が含まれています（322ページのセクション「方程式」を参照）。

悲しいことに、この貢献はやや過小評価/見過ごされており、後で部分的な結果が再発見されることになります。たとえば、平行光線（無限遠の光源）と任意の反射順序の円上の光線の点光源の場合が再発見され、Bromwich'The Caustic、by Reflection、of aCircleによって代数的であることが示されました。 。」 American Journal of Mathematics、1904、Vol 26、33-44。具体的には43-44ページ。ブロムウィッチが指摘しているように、これらのケースは、与えられた半径の関係を持つエピトロコイドと同等です。



ホールディッチ苛性アルカリの自然性に関する注意の言葉として。光線は、次数が増えるにつれてさまざまな長さで反射します。これにより、レイバンドル内のレイ間の順序に不一致が生じます。したがって、Holditchの導出における順序の同等性は、移動距離を考慮した場合（たとえば、有限の移動速度を介して）、物理的ではありません。したがって、Holditchによるn次反射曲線は、物理的な苛性アルカリを実現するために、異なる次数のセグメントに分割する必要があります。要するに、Holditchの苛性アルカリには、物理​​現象を回復するために必要なすべての情報が含まれていますが、反射次数の不一致を考慮する必要があります（Essl「ディスク上の波面の計算I：数値実験」を参照）。 Science 161（2006）：25-41。）

反射として任意の代数曲線が与えられると、Josse and Pene（ '反射によるコースティクスの程度について。'CommunicationsinAlgebra 42.6（2014）：2442-2475。）は、代数曲線である反射によるコースティクスの順序を示します。これにより、代数曲線の次数に異なるハンドルが与えられます。ホールディッチ苛性アルカリの順序は反射の順序に直接関係していますが、ここでは反射の順序として入力されます。


これがあなたが求めているものではないかと思いますが、$ n $正方形内の合同なディスクは、任意に高い次数を持つことができます。



Szabó、PéterGábor、MihályCsabaMarkót、TiborCsendes。 「ジオメトリの大域的最適化—正方形への円充填。」腱 大域的最適化におけるエッセイと調査 、pp.233-265。 Springer、マサチューセッツ州ボストン、2005年。PDFダウンロード。

N13
の最小多項式$ n = 13 $。 Szabóらのp.17。
最小多項式は、サークルコンタクトを記述する一連の2次方程式から導出されます。これらの多項式が「自然に発生する」かどうかは、判断の呼びかけです。