ホットハンドとコインは、一連の頭の後に反転します
Hot Hand Coin Flips After Sequence Heads
解決：
制限された選択の重要性についての質問に答え、その説明を解くために、Adam Sanjurjoと私がESPNと共有した例のより単純なバージョンを考えてみましょう（ここではspaceisdarkgreenのリードに従いますが、ESPN記事のアプローチに固執しています） 。
コインを3回裏返し、その直前に$ H $が付いている裏返しの1つをランダムに選択することを想像してみてください。等しい確率で、フリップ2またはフリップ3のいずれかを選択します。フリップ2（フリップ42に類似）を選択したとしましょう。 '前に$ H $'が選択規則だったので、フリップ1が$ H $であることはご存知でしょう。つまり、フリップ1と2の結果が$ HH $または$ HT $のいずれかであるシーケンスにいることがわかります。 $ HT $の可能性が高いことがわかっているのはなぜですか？さて、フリップする前は、$ HH $に対して$ HT $を支持するオッズは$ 1：1 $でしたが、世界$ HT $でフリップ2（私たちが見るフリップ）を選択する可能性は、世界と比較して2倍です。 $ HH $、世界$ HT $ではフリップ2（つまり、$ mathbb {P}（flip 2 | HT）= 1 $）を選択する必要があるのに対し、世界$ HH $ではフリップ3（つまり、 $ mathbb {P}（flip 2 | HH）= 1/2 $）。したがって、事後的には、$ HT $（$ HH $に対して）を支持するオッズは2倍の$ 2：1 $になります。 $ 3 $の合計チャンスのうち$ HT $の$ 2 $のチャンスでは、$ HT $の確率は$ 2/3 $になります。つまり、フリップ2がテールである確率は$ 2/3 $です。これはオッズ形式のベイズの定理であり、乗算のみを含むため、より単純です。言い回しを削除すると、次のようになります。
begin {align} frac { mathbb {P}（HT | flip 2）} { mathbb {P}（HH | flip 2）}＆= frac { mathbb {P}（flip 2 | HT）} { mathbb {P}（flip 2 | HH）} times frac { mathbb {P}（HT）} { mathbb {P}（HH）} \＆= frac {1} {1/2} times frac { mathbb {P}（HT）} { mathbb {P}（HH）} \＆= 2 times frac {1/2} {1/2} \ ＆= 2 end {align}
これにより、バイアスの背後にある直感が得られます（最後のフリップではないフリップの場合）。 $ T $である世界では、選択したフリップ、フリップ2を選択する可能性が高くなります。これは、その世界では、選択する必要があるのに対し、$ H $である世界では、 選択の制限が少ない 選択できるフリップは他にもあるので、次のフリップであるフリップ3を選択することもできます。
フリップ$ 3 $が選択された場合、フリップ2と3が$ HT $である世界よりも、フリップ3が選択される可能性はフリップ2と3が$ HH $である世界と同じであることに注意してください。 $ HT $は、フリップ4がないため、可能性としてフリップ4を除外しません（ここでは最初のフリップは無視できます）。つまり、オッズは変わらないということです。
したがって、3つのフリップすべてを考慮すると、$ mathbb {P}（HT | flip 2）= 2/3 $および$ mathbb {P}（HT | flip 3）= 1/2 $であることがわかりました。各フリップが等しく選択される可能性が高いため、
$$ mathbb {P}（T | text {flip before $ H $}）= 1/2 times 2/3 + 1/2 times 1/2 = 7/12 $$
注1：ESPNの例は、私たちのこの一般的な関心の記述からのものです---ストリークの長さが長くなるとより複雑になりますが、ストリークが長くなるにつれてバイアスの強さについて直感的になります。ここに示されているより単純なバージョンは、Adam Sanjurjoと私による論文で見つけることができます。これは、制限された選択をホットハンドやその他の条件付き確率の問題に結び付けます。古典的なモンティホール問題で、ドアが開いたときに競技者が自分の信念を更新する必要がある理由について、直感を伝えるための一般的な方法を1つ借りました（詳細については、このStackExchangeを参照してください）。
注2：spaceisdarkgreenの応答は、コメントの追加の詳細とともに良いものですが、Barryの特定の質問には答えていません。 Spaceisdarkgreenの焦点は比率のサンプリング分布にあり、計算は確かに測定値にバイアスがかかっていることを示していますが、バイアスの方向についての直感はありません。
$ 42-45 ... $を忘れてください。たとえば、「ストリーク」が1列に並んだ3つのコイントスでも同じ効果が得られるはずです。 「最後の（3番目の）フリップではないヘッドフリップをランダムに選択した」と言われたとします。次のフリップが頭である確率はどれくらいですか？ここに問題があります...その基準を満たすヘッドがいないことは簡単にあり得ます。実際、最初の2つのフリップの1つがヘッドである場合にのみ発生します。したがって、$ HHH $、$ HHT $、$ HTH $、$ HTT $、$ THH $、$ THTが発生する可能性も同様にあります。最初の2つからランダムにヘッドを選択した後、テールが発生する確率は次のフリップになります。それぞれ$ 0,1 / 2,1,1,0,1 $であるため、テールの確率は$ 3.5 / 6> .5 $です。