トーラスの3D方程式を導出する方法は？

How Derive 3d Equation Torus

解決：

1点選びましょう$ p =（x、y、0）$。点pから原点までの距離は$ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} $ポイントからの距離$ p $半径のある円に$ r $の$ xy $-飛行機は$ d = lvert r- sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} rvert $。点$（x、y、z）$それが満たす場合、トーラスの表面にあります$ d ^ 2 + z ^ 2 = h ^ 2 $NS。$ z ^ 2 = h ^ 2- left（r- sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} right）^ 2 $

まず、数式を少し修正します。

$$ z ^ 2 = a ^ 2- left（c- sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} right）^ 2 $$

原点から 中心 「チューブ」の半径は$ c $に等しく、「チューブ」の半径は$ a $の方程式です。そうは言っても、尋ねるのはより自然です これがフォームの円からどのように導き出されるか

$$ x ^ 2 + y ^ 2 = 10 ^ 2？$$

（または、一般に、円$ x ^ 2 + y ^ 2 = c ^ 2 $。）これを確認するには、半径$ c $（原点を中心とする）の円のパラメトリック形式を思い出してください。

$$ x（u）= c cos（u）、 quad y（u）= c sin（u）、$$

ここで、$ u in [0、2 pi）$は半径方向のパラメーターです。ここで、$ x、y、z $空間の$ x、y $平面にあるこの円について考え、$ u = u_0 $を修正し、この円を中心とする管半径$ a $のトーラスを見てみましょう。 。

各$ u = u_0 $スライスでは、画像は原点からの距離$ pm c $を中心とする半径$ a $の2つの円のように見えます。$ v in [0、2 pi）$をこれらを表す別の半径パラメータとします。与えられた$ u_0 $で円を描きます。これらの円の高さ（$ z $軸に伸びる）は、次の式で簡単に与えられます。

$$ z（v）= a sin（v）。$$

いくつかの$ v = v_0 $が与えられた場合、$ x、y $平面の半径$ c $の円から$ x $-および$ y $-の位置を次の量だけシフトします。

$$ a cos（v） quad text {and} quad a cos（v）$$

それぞれ。これは、トーラスのパラメトリック形式につながります。

$$ begin {align *} x（u、v）＆= big（c + a cos（v） big） cos（u）、\ y（u、v）＆= big（c + a cos（v） big） sin（u）、\ z（u、v）＆= a sin（v）。 end {align *} $$

残っているのは、このフォームが上記の式と同等であることを確認することです。これは非常に簡単です。うまくいけば、パラメトリック形式はより自然な視点を提供します。