一連のセットのLiminfとLimsup

Liminf Limsup Sequence Sets

解決：

ディディエが指摘したように、シーケンスは増加していません。たとえば、$ frac {1} {2} $は$ A_2 $にありますが、$ A_3 $にはありません。これから説明するように、さらに多くの例があります。しかし、最初に、セットの場合の「下極限」と「上極限」の定義を詳しく見てみましょう。

$ {A_n } _ {n in mathbb {N}} $がいくつかのセット$ X $のサブセットのシーケンスであると仮定します。次に、$$ liminf_ {n to infty} A_n：= bigcup_ {n in mathbb {N}} bigcap_ {m geq n} A_n $$および$$ limsup_ {n to inftyを定義します} A_n：= bigcap_ {n in mathbb {N}} bigcup_ {m geq n} A_n $$ $ x in liminf_n A_n $と仮定します。これは、すべての$ m geq M $に対して$ x in A_m $となるような$ M in mathbb {N} $が存在することを意味します。または、別の言い方をすれば、正しく述べたように、$ x $は$ A_n $のセットのほとんどすべての要素です。

ここで、$ x in limsup_nA_n $と仮定します。これは、すべての$ n in mathbb {N} $に対して、$ x in A_m $というプロパティを持つ$ m in mathbb {N} $が存在することを意味します。または、別の言い方をすれば、$ x $は無限に多くのセット$ A_n $の要素です。ここで問題に戻ります。

$ {A_n } $の下の限界が$ mathbb {Z} _ { geq 0} $であることを確認するために、$ frac {p} {q} $が正の非整数有理数であると仮定します。 （つまり、$ q> 1 $および$ p> 0 $）、そしてその$ n $は$ q $に対して互いに素です。そうすると、$ frac {p} {q} $が$ A_n $にないことが簡単にわかります。 $ q $と互いに素な数は無限にあるため、$ frac {p} {q} $は$ liminf_n A_n $に含まれていません。ただし、$ liminf_n A_n $の非負の整数。これを確認するには、$ n $が整数で$ m geq n $の場合、$ n = frac {mn} {m} in A_m $であることに注意してください。したがって、$$ liminf_ {n to infty} A_n = mathbb {Z} _ { geq0}を取得します。 $$

$ A_n $の上極限は同様の方法で見つけることができます。 $ frac {p} {q} $が非負の有理数である場合、$ n in mathbb {N} $の$ frac {p} {q} in A_ {nq} $に注意してください。したがって、$$ limsup_ {n to infty} A_n = mathbb {Q} _ { geq0}。 $$

いくつかのセット$$ A_n = left { frac0n、 frac1n、 dots、 frac {n ^ 2} n right } $$を明示的に書き出すことをお勧めします。手始めに、それは$ A_n subseteq A_ {n + 1} $が一般的に真実ではないことを示します。

$$ begin {align *} A_1＆= left { frac01、 frac11 right } = {0,1 } \ A_2＆= left { frac02、 frac12、 frac22、 frac32 、 frac42 right } = left {0、 frac12,1、 frac32,2 right } \ A_3＆= left { frac03、 frac13、 frac23、 frac33、 frac43、 frac53、 frac63、 frac73、 frac83、 frac93 right } = left {0、 frac13、 frac23,1、 frac43、 frac53,2、 frac73、 frac83,3 right } ;、 end {align *} $$

等々。 $ A_1 subseteq A_2 $であることは事実ですが、明らかに$ A_2 nsubseteq A_3 $です。

それ は $ k in Bbb N $の場合、すべての$ n ge k $に対して$ k in A_n $であるため、$ Bbb N subseteq liminf_n A_n $であることを簡単に確認できます。もちろん、$ limsup_n A_n subseteq Bbb Q cap [0、 to）$、非負の有理数のセット。

$ a、b in Bbb Z ^ + $および$ gcd（a、b）= 1 $であると仮定すると、$ a / b $は最低条件で正の有理数になります。さらに、$ b> 1 $であるとすると、$ a / b $は整数ではありません。 $ n in Bbb Z ^ + $について、$ a / b in A_n $は本当ですか？明らかに、$ n $は$ b $の倍数でなければなりません。 $ n = kb $と言います;次に、$ 0 le ka le n ^ 2 $の場合に限り、$$ frac {a} b = frac {ka} {kb} = frac {ka} n in A_n $$。ここから、どの$ A_n $に$ a / b $が含まれているかをかなり簡潔に説明できるはずです。これにより、$ liminf_n A_n $と$ limsup_n A_n $が正確に何であるかがわかります。

これが実際の答えで、スポイラーで保護されています。それらを表示するには、マウスオーバーします。

$ liminf_n A_n = Bbb N $; $ limsup_n A_n = Bbb Q cap [0、 to）$。