確率

7つのチョコレートを購入する5つすべてを収集する確率



Probability Collecting All 5 Buying 7 Chocolates



解決：

ソリューションの欠点は、$ 330 $列挙したケースが同じように表示される可能性は低くなります。たとえば、7つのチョコレートバーすべてに最初のラベルを表示する方法は1つしかありません。ただし、集めたチョコレートバーの順番でステッカーを並べると、$ binom {7} {2} binom {5} {2} 3！$最初のタイプの2つのステッカー、2番目のタイプの2つのステッカー、および他の各タイプの1つのステッカーを含むコレクションを取得する方法。

7つのチョコレートバーのそれぞれに5つの可能なステッカーがあるので、$ 5 ^ $ 7チョコレートバーにステッカーを配布する方法。



好都合な場合には、購入したチョコレートバーのコレクションに5種類のステッカーすべてが表示されない分布を差し引く必要があります。

がある$ 二項{5} {k} $除外する方法$ k $の$ 5 $ステッカーと$（5-k）^ 7 $残りのステッカーを配布する方法$ 5-k $チョコレートバーの種類。したがって、包除原理により、5種類のステッカーすべてが表示されるようにステッカーを7つのチョコレートバーに配布できる方法の数は次のとおりです。$$ sum_ {k = 0} ^ {5}（-1）^ k binom {5} {k}（5-k）^ 7 = 5 ^ 7- binom {5} {1} 4 ^ 7 + binom {5} {2} 3 ^ 7- binom {5} {3} 2 ^ 7 + binom {5} {4} 1 ^ 7- binom {5} {5} 0 ^ 7 $$したがって、5種類のステッカーすべてが7つのチョコレートバーのコレクションに表示される確率は次のとおりです。$$ frac {1} {5 ^ 7} left [5 ^ 7- binom {5} {1} 4 ^ 7 + binom {5} {2} 3 ^ 7- binom {5} {3 } 2 ^ 7 + binom {5} {4} 1 ^ 7- binom {5} {5} 0 ^ 7 right] $$




これはかなり長いですが、正しい解決策です。サンプルスペースは、ステッカーが貼られた7本のチョコレートバーです。基本シーケンスの確率は$（1/5）^ 7 $。有利なシーケンスを数えましょう。 5種類のバーがある場合、次の可能性があります。3種類の特定のステッカーと残りの4つの固有のステッカー、または2種類の2つのステッカーと残りの3つの固有のステッカー。数えましょう！ 5種類のステッカーがあります、$ {7 choice 3} $同じ種類のステッカーの位置を選択する方法、および4！残りの一意のステッカーを別の順序で配置する方法（基本シーケンスで作業していることを思い出してください）、最初の被加数を与えます：$$ 5 {7 choice 3} 4！ = 4200 $$もあります$ {7 選択2} $最初の2リピートステッカーの位置を選択する方法と$ {5 Choose 2} $2番目の2リピートステッカーの位置を選択する方法。さて、ポジションが選択されると、$ {5 Choose 2} $これらの2リピート位置を埋めるために2つのステッカーを選択する方法、および3！残りのユニークなステッカーを配置する方法。したがって、2番目の被加数は次のとおりです。$$ {7 choice 2} {5 choice 2} {5 choice 2} 3！ = 12600 $$最後に、一緒に私たちは持っています：$$（1/5）^ 7（12600 + 4200）= 0.21504 $$


組み合わせ数学を思い出せなかったので、力ずくの方法をしました。そこにいる本当の数学者に謝罪します。

ステッカーに小文字の名前を付けましょう：a、b、c、d、e。



同様に可能性の高い結果のサンプルセットの各要素は、これらの文字の7タプルです。

  • 例：[abcdeab]

注文が重要です！ [aaaaaab]は、[baaaaaa]とは異なりますが、同じように可能性がありますが、各タイプのステッカーの数は同じです。したがって、最初のチョコレートバーには5つのオプション、2番目のチョコレートバーには5つのオプションなどがあります。

つまり、5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 78125の同様に可能性の高い結果があります。

これらの結果のうち、5つすべてのステッカーが含まれているものはいくつありますか？各ステッカーを1つずつ取り、5つの異なるチョコレートバーに貼り付ける方法をいくつか調べてみましょう。

  • Aを配置する場所には7つのオプションがあります。
  • Bを配置する場所の残りの6つのオプションがあります。
  • Cを配置する場所の残りの5つのオプションがあります。
  • Dを配置する場所の残りの4つのオプションがあります。
  • Eを配置する場所の残りの3つのオプションがあります。

これにより、5枚のステッカーを配置するための7 * 6 * 5 * 4 * 3 = 2520の組み合わせが得られます。各オプションを「テンプレート」と呼びましょう。

  • テンプレートの例：[dXcbaYe]ここで、XとYにはまだステッカーが貼られていません。

XまたはYに好きなステッカーを貼ることができます。ステッカーの選択肢は5つあるので、テンプレートごとに5 * 5または25のバリエーションがあります。

この時点で、2520の可能なテンプレートがあり、それぞれに25のバリアントがあり、合計2520 * 25 = 63,000の好ましい結果が得られると言いたくなるかもしれません。しかし、私は結果を複数回カウントしているので、それは間違っているでしょう。

  • 例：これらの2つのテンプレート、[abcdeXY]と[XXcdeab]は、どちらも同じバリアント[abcdeab]を生成できます。

それでは、重複を計算して排除しましょう。

XとYに同じステッカーが割り当てられると、結果は3つの別々のテンプレートのバリエーションとして表示されます。たとえば、結果[abcdeaa]は、次の3つのテンプレートのバリアントです。

  • [abcdeXX]
  • [XbcdeaX]
  • [XbcdeXa]

XとYに異なるステッカーが割り当てられると、結果は4つの別々のテンプレートのバリエーションとして表示されます。たとえば、結果[abcdeab]は、次の4つのテンプレートのバリアントです。

  • [abcdeXY]
  • [XbcdeaY]
  • [aXcdeYb]
  • [XYcdeab]

だから、私は2520の可能なテンプレートを持っています。テンプレートごとに25のバリアントがあり、そのうち5つ（XXバリアント-aa、bb、cc、dd、ee）はそれぞれ3回カウントされ、他の20（XYバリアント）はそれぞれ4回カウントされます。したがって、オプションの総数は次のとおりです。

  • XXバリアント数-（2520 * 5/3）= 4200
  • XYバリアント数-（2520 * 20/4）= 12600
  • すべてのバリアント= 4200 + 12600 = 16800

したがって、確率は16800/78125 = 21.504％です。