微分形式とは何ですか？
What Is Differential Form
解決：
微分形式について話すには、最初にマニフォールドとベクトル場について話す必要があります。非公式に言えば、マニフォールドは局所的にユークリッドである任意の空間です。つまり、多様体のすべての点の周りの領域は「ユークリッド空間」のように見えますが、空間全体がユークリッド空間ではない可能性があります。例としては、球やトーラスがあります。より複雑な例は多様で興味深いものですが、非公式な設定で定義することは困難です。
滑らかな多様体は、各点の周りのユークリッド領域がある意味で「互換性がある」多様体です。これは、2点のユークリッド領域がオーバーラップする場合、そのオーバーラップ領域のユークリッド座標系と、無限に微分可能な方法で一方から他方に転送できることを意味します。
滑らかな多様体上の滑らかな関数は、範囲が実数であり、多様体の点の周りのユークリッド領域のユークリッド座標系に関して無限に微分可能な関数です。多様体$ M $上のすべての滑らかな関数のセットは$ C ^ infty（M）$と呼ばれます
物事が少し速く動いている場合は、最後の3つの段落を次のようにいくつか挙げることができます。「ユークリッド空間のように近くに見える空間があり、それらの関数はある意味で微分可能です。」
次に、滑らかな多様体上の点でのベクトルについて説明します。この定義はおそらく本当に奇妙に聞こえるかもしれませんが、滑らかな多様体上でベクトルを定義する最も簡単な方法です。滑らかな多様体$ M $の点$ x $にあるベクトル$ v $は、定義域が$ C ^ infty（M）$で、範囲が$ mathbb R $であり、次の3つの特性を満たす任意の関数です。 ：
- $ v（f + g）= v（f）+ v（g）$
- $ v（ラムダf）= ラムダv（f）$
- $ v（fg）= v（f）g（x）+ f（x）v（g）$
ここで、$ f $と$ g $は$ M $の滑らかな関数であり、$ lambda $は実数です（積の法則のように見えることに注意してください）。これはどういう意味ですか、そして私たちがそれらを見るのに慣れているので、それはベクトルとどのように関連していますか？私たちは、コンポーネントのコレクションによって定義されたベクトルを見ることに慣れています。しかし、それに関する問題は、それらの座標が、使用することを選択した座標系に依存することです。私が今与えた定義はそうではありません。ただし、座標が好きな場合は心配しないでください。これら2つの定義の間で転送できます。座標が$（x_1、 cdots、x_n）$で、点$ x $でユークリッド座標で表されたベクトルが$ v =（v_1、 cdots、v_n）$である場合、ベクトルをのオブジェクトとして記述できます。 $$ v = v_1 frac { partial} { partial x_1} + cdots + v_n frac { partial} { partialx_n}と書くことで上で定義した形式。$$関数$ fに作用できます。微分による$：$$ v（f）= v_1 frac { partial f} { partial x_1}（x）+ cdots + v_n frac { partial f} { partial x_n}（x）。$$これが上記の3つの特性のそれぞれを満たしていることは容易に理解できます。
滑らかな多様体上の滑らかなベクトル場は、多様体上のベクトルの集合であり、各点に1つずつあり、変化するのは滑らかな（微分可能な）方法です。言い換えると、定義域と範囲が$ C ^ infty（M）$である関数$ X $であり、次のようになります。
- $ X（f + g）= X（f）+ X（g）$
- $ X（ lambda f）= lambda X（f）$
- $ X（fg）= X（f）g + fX（g）$
簡単な場合は、ベクトルをある表面に接する小さな矢印として想像し、ベクトル場を多様体を覆うそのような矢印の束として想像するのは問題ありません。これは自然なイメージですが、実際には役に立たないことがわかりました。しかし、これは「非公式の議論」なので、先に進んでください。
ついに微分形式を定義する準備が整いました。
$ n $次元の滑らかな多様体$ M $上の微分$ k $形式は、$ M $、$ X_1、 cdots、X_k $および上の$ k $滑らかなベクトル場を入力として受け取る任意の多重線形関数$ omega $です。 $$ omega（X_1、 cdots、X_i、 cdots、X_j、 cdots、X_k）=- omega（X_1、 cdots、X_j、 cdots、X_i、 cdots、X_k）。$$後者のプロパティは呼び出されます 反対称 。
それで、そのようなオブジェクトの背後にある動機は何ですか？私の知る限り、微分形式の最も重要なアプリケーションは、はるかに多様体への統合です。それらの最初の発見と定義には他の理由があったかもしれませんが、これがそれらが使用される目的です。統合について考えるとき、あなたは面積と体積を計算することを考えます。 $ n $次元多様体では、$ n $以下の任意の次元を持つ$ n $の任意の部分多様体の体積または面積を測定したい場合があります。 $ M $の座標系が与えられると、微分$ k $形式は、その座標系に従って$ k $次元の体積を測定する方法を示します。多変数微積分コースを受講したとすると、球座標のボリューム要素の画像を見たことを覚えているでしょう。
このような写真は、微分形式がどのように機能するかについてのアイデアも与えてくれます。この図は、$ theta $、$ phi $、および$ r $方向の微小な変化にラベルを付け、これらの変化によって掃引される微小な体積を計算する方法を示しています。代わりに、各ポイントでそれぞれ$ theta $、$ phi $、および$ r $方向に接するベクトルを持つ3つのベクトル場を検討できます。微分3形式は、これら3つのベクトル場を同じボリューム要素に結合します。
なぜ反対称？反対称関係により、方向を考慮することができます。繰り返しになりますが、多変数微積分を研究した場合、3次元空間の表面上で積分するときは、通常、表面点に対する法線ベクトルの方向に注意することが重要であることを知っています。ただし、サーフェスが4次元以上の空間にある場合、各ポイントに一意の法線方向がないため、代わりに座標の順序を使用して方向を決定します。 2つの座標を切り替えると、方向が切り替わります。符号が逆になることを除いて、統合から同じ結果が得られます。
私はあなたの質問のいくつかに答えたことを望みます。
残念ながら、 あなたの 微分形式の背後にある形式主義の、そして非専門家のためのそれらの「直感的な」説明はおそらく尋ねるには多すぎます。私自身、微分形式が何であるかを考えたり、第一原理からそれらを導き出そうとしたり、微積分学におけるこれまたはそのオブジェクトの一般化としてそれらを理解しようとしたりするのにかなりの時間を費やしました。
しかし、現時点では、微分形式の気の遠くなるような概念にアプローチする最善の方法は、それを実現することだと思います。 微分形式は、ストークスの定理を真にするものとして定義されています。 つまり、2つの異なる方法でフォームの理解に取り組むことができます。
- 微分形式を理解しようとすることができます 初め 、そしてストークスの定理を形式についての深遠な結果として解釈し、 また
- 微積分学の基本定理、グリーンの定理、発散定理、ケルビン・ストークスなどがすべてであることがわかります。 食欲をそそるほど似ている 、そしてフォームがなぜであるかを理解しようとすることができます 正しい これらの定理のすべてを同じ一般的なストークスの定理の特別な場合にする抽象化。
2番目のアプローチはより啓発的であり、定義が何であるかを「なぜ」理解しようとして壁に頭をぶつけることが少なくなると思います。したがって、最初に上記のすべての定理を完全に理解することをお勧めします。次に、それらがすべて「同じ」であると確信したら、指を置くことができない不思議な方法で、微分形式に関する本 しません 前提条件として多様体から始めます。 Spivakの マニホールドの計算 。行列式をよく理解しても、おそらく害はありません。