微分方程式

DSolveが私のODEシステムの解決策を見つけられないのはなぜですか？



Why Cant Dsolve Find Solution



解決：

なぜこれが機能しないのかわかりません。誰かが理由を見つけるまで、連立方程式を解くための回避策は次のとおりです。

ode = {x '[t] == x [t] / t-y [t]、y' [t] == x [t] + y [t] / t}
変数変換$ x（t）= t X（t）$および$ y（t）= tY（t）$を使用して、

 
 
頌歌/。 {x->（（＃X [＃]）＆）、y->（（＃Y [＃]）＆）}（* X [t] + t X '[t] == X [t] -t Y [t]、Y [t] + t Y '[t] == t X [t] + Y [t] *）
これは今では簡単に解決されますDSolve：
 
DSolve [％、{X [t]、Y [t]}、{t}]（* X [t]-> C [1] Cos [t] -C [2] Sin [t]、Y [t] -> C [2] Cos [t] + C [1] Sin [t] *） 
Mathematicaで解く別の方法があります。
 
 
 
 begin {align *} x ^ { prime}  left（t  right）＆=  frac {x  left（t  right）} {t} -y  left（t  right）\ y ^ {  prime}  left（t  right）＆= x  left（t  right）- frac {y  left（t  right）} {t}  end {align *}
 
次のように書く
 
$$  dot {X} = AX $$
 
 
 
ここで、$ A =  begin {pmatrix}  frac {1} {t}＆-1 \ 1＆ frac {-1} {t}  end {pmatrix} $。解が$ X  left（t  right）= X  left（0  right）e ^ { int_ {0} ^ {t} A  left（ tau  right）d  tau} $であると仮定します。 。ただし、これは（これは行列時変システムであるため）$ A $が$ e ^ { int_ {0} ^ {t} A  left（ tau  right）d  tau} $と通勤する場合にのみ機能します。つまり、$$ A  left（t  right）e ^ { int_ {0} ^ {t} A  left（ tau  right）d  tau} = e ^ { int_ {0} ^ {t} A  left（ tau  right）d  tau} A  left（t  right）$$
 
それが通勤しない場合、物事はもう少し複雑になります。 Mathematicaを使って、この例では実際に通勤していることを確認できるので、幸運です
 
（mat = {{1 / t、-1}、{1、1 / t}}）// MatrixForm（bmat = MatrixExp [Integrate [mat、t]]）// MatrixForm
 Mathematicaグラフィックス
 
mat.bmat == bmat.mat
 Mathematicaグラフィックス
 
したがって、Mathematicaにそれを解決するように頼むことができます。MatrixExp
 
x0 = {c1、c2}; （*積分定数*）（sol = x0.bmat）// MatrixForm
 Mathematicaグラフィックス
 
上記が解決策です。最初の行は$ x（t）$で、2番目の行は$ y（t）$です。
 
Mathematicaがそれを解決しなかったのはなぜですか？知らない。
  
バージョン11.1で修正されましたDSolveはそれを直接解決できます
 
$ Version
11.1.0 for Microsoft Windows（64ビット）（2017年3月13日）
 
ClearAll [x、t、y]; DSolve [{x '[t] == x [t] / ty [t]、y' [t] == x [t] + y [t] / t}、{y [t]、x [t] }、t] {{x [t]-> t C [1] Cos [t] -t C [2] Sin [t]、y [t]-> t C [2] Cos [t] + t C [1]罪[t]}}