パップス・ギュルムは一般化されていますか？

Are Pappus Theorems Generalized

解決：

ノート ：これは、質問が求めたものとは異なる方向への一般化です（これらの参照は、ボリュームを見つけるという点で一般化されていますが、Koundinya Vajjhaは重心を見つけるという点で一般化を望んでいました）。以下にリンクされているGrayとMiquelによる高次元バージョンはこれをもたらすかもしれませんが、私はまだ彼らの論文を読んでいません。

クイックグーグル検索は次の参照をもたらしました：A。W。グッドマンとゲイリーグッドマンによる「パップスの定理の一般化」。

彼らは、あなたが述べた2番目の定理は、Fの重心が移動する円が、曲率が消えることのない十分に滑らかな単純な閉空間曲線に置き換えられたときに一般化されることを示していますが、最初の定理は簡単に一般化されません。

論文の図1を共有する必要がありました。曲線$ の周りで$ mathcal {C} _P $で囲まれた「面」$ mathcal {D} $を輸送したときに得られる固体の体積を計算できるようです。 mathcal {C} _S $。 [$ mathcal {C} _S $は実際には結び目がありませんが、著者は、「...曲線$ mathcal {C} _S $には、図1で示したように、結び目がある場合もあります」と述べています。 。]

さて、さらに一般化するために、これを引用しているグーグル学者の論文を見ることができます：

AlfredGrayとVicenteMiquelの論文があり、空間の形での同様の構造のボリュームについて説明しています。彼らの動機は、ワイルの有名なチューブ式をよりよく理解しようとすることでした。 M. Carmen Domingo-Juan、Ximo Gual、Vicente Miquelは、その後、このテーマについてさらにいくつかの論文を執筆しています。

表面の重心/回転体を見つけるためのきちんとした方法があります。平面図$ Gamma $と$ Gamma $から素である平面内の軸$ ell $があるとします。ここで、$ Gamma $の重心が$ ell $に$ O $として投影され、$ ell $からの距離が$ r $であるとします。 $ Gamma $を$ ell $の周りに$ alpha $の角度で回転させ、結果のボディを$ Gamma（ alpha）$と呼びます。

$ Gamma（ alpha）$、$ G _ { alpha} $の重心を見つけるには、$ OG _ { alpha} perp ell $と$ G_ {なので、$ O $からの距離を測定するだけで十分です。 alpha} $は、回転角の二面角にあります。 $ | OG _ { alpha} | $を$ f（ alpha）$で表し、$ Gamma（ alpha）$を2つの$ Gamma（ alpha / 2）$にカットし、アルキメデスを使用するようにします。 2つのオブジェクトの結合の重心が別々の重心を結ぶ線上にあるという補題から、関数方程式$$ f（ alpha）= f（ alpha / 2） cos（ alpha / 4）$$が得られます。初期条件$ f（0）= r $であるため、連続性により、解は$ f（ alpha）= 2r frac { sin（ alpha / 2）} { alpha} $になります。このメソッドは、中空半球などのすべての例を処理します。