四面体の立体角

Solid Angles Tetrahedron

解決：

この声明は当てはまらないと思います。次の四面体は反例を与えるはずです：

$ A =（-0.5、0、0）$、$ B =（1,0,0）$、$ C =（0、 varepsilon ^ 2、 varepsilon）$、$ D =（0、 varepsilon ^ 2、- varepsilon）$、$ 1 >> varepsilon> 0 $。

ここでは、$ BCD $の面積が最大ですが、$ C $と$ D $の球面角度は、$ A $の球面角度よりも大幅に大きくなるはずです。 （私はおおよその計算しか行っていませんが、それは本当だと思います）。

$ epsilon = 0.4 $の場合、Dmitriの例の$ C $と$ D $の立体角は、$ A $の立体角の2倍以上になります：$ 24.5 ^ circ $対$ 12.1 ^ circ $。 （そして、$ triangle BCD = 0.41> 0.32 = triangle ABC $の面積。）

良い！

単位立方体に頂点があるランダムな四面体の場合、$ 100,000 $の試行で、$ lbrace（0.57、0.28、0.95）、（0.15、0.54、0.87）、（0.45、0.97、0.68）を含む$ 8,355 $の反例が得られます。 、（0.96、0.38、0.24） rbrace $。

私が反例を探した理由は、その発言がもっともらしいとは思わないからです。四面体の空間を動き回ると、最大の顔が変化します。また、最大の立体角が変化します。これらの変更がまったく同じ場所で発生する一般的な理由はないようです。

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これは、上記の観察に基づいた構造です。 $ A =（0,0,0）$、$ B =（5,1,0）$、$ C =（5、-2,0）$とします。これらは、$ xy $平面内の三角形の頂点です。 $ D（t）=（0,0、t）$とします。

小さい$ t gt 0 $の場合、$ AD $は小さいため、$ triangle DAB $と$ triangle DAC $の面積は小さくなります。 $ triangle DBC $は$ triangle ABC $に直交して投影されるため、$ triangle DBC $は$ triangle ABC $よりわずかに大きくなります。 $ t $が大きい場合、$ triangle DAC $は$ triangle DBC $よりも大きくなります。遷移は$ t = frac {3 sqrt {5}} {2} = 3.3541。$で発生します。

$ A $での立体角は一定ですが、$ B $での立体角は増加し、最終的には大きくなります。遷移は$ t = frac {69 + 3 sqrt {29}} {20} = 4.2578 $で発生します。

$ 3.3541 lt t lt 4.2578 $の場合、最大の立体角は$ A $であり、最大の面積を持つ辺は$ triangle DAC $です。