数論

$ sqrt {2} $の新しい連分数



New Continued Fraction



解決：

私は数値的に身元を確認することに固執します。連分数の$ n $番目の部分商の逆漸化式は次のとおりです。

$$ s_ {k-1} = 1-e ^ {-（2k-1） pi} + frac {e ^ {-k pi}（1 + e ^ {-k pi}）^ 2} {s_ {k}} $$



$ k = n、n-1、 ldots、3,2,1 $および$ s_n = 1 $の場合。 $ s_0 $を計算すると、$ n $番目の部分商は$ 1 + frac {2e ^ {- pi / 2}} {s_0} $として与えられます。

Mathematicaでのこの再帰の数値実装は次のとおりです。



n = 5; s = 1; Do [s = 1-Exp [-（2 j + 1） [Pi]] +（Exp [- [Pi]（j + 1）]（1 + Exp [- [Pi]（j + 1） ]）^ 2）/ s; 、{j、n、0、-1}]（1 +（2 Exp [- [Pi] / 2]）/ s）-Sqrt [2]
 
以下は、連分数の$ n $番目の部分商と$  sqrt {2} $の差のプロットです。 $ n = 3 $の場合でも、誤差は倍精度$  sim 10 ^ {-16} $よりも小さいことがわかり、違いを見つけるには、計算でより高い精度を使用する必要があります。より高い精度で、$ n = 25 $の場合、合意は$ 500 $桁よりも優れていることがわかります。
 
 
$ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ $ 
 
 
完全を期すために、ここに任意精度で計算するために使用されるコードがあります（ここでは$ 500 $桁）：
 
ブロック[{$ MinPrecision = 500、$ MaxPrecision = 500}、n = 25; s = 1; Do [s = 1-Exp [- [Pi]（2 j + 1）] +（Exp [- [Pi]（j + 1）]（1 + Exp [- [Pi]（j + 1） ]）^ 2）/ s; 、{j、n、0、-1}]; N [（1 +（2 Exp [- [Pi] / 2]）/ s）-平方根[2]、500]] 
$ | q |の場合<1$ and we set $$ (a;q)_{infty}=prod^{infty}_{n=0}left(1-aq^n
ight), $$ then (see [1]): $$ P(a,q):=left(frac{(-a;q)_{infty}}{(a;q)_{infty}}
ight)^2= $$ $$ =-1+frac{2}{1-}frac{2a}{1-q+}frac{a^2(1+q)^2}{1-q^3+}frac{a^2q(1+q^2)^2}{1-q^5+}frac{a^2q^2(1+q^3)^2}{1-q^7+}ldots,	ag 1 $$ where $a$ is a complex number.
 
（1）の対数を取り、テイラー級数（$  log（1-x）$）の2つの積を展開します。次に、二重和は簡単に再配置され、$$ 4  sum ^ { infty} _ {n = 0}  frac {a ^ {2n + 1}} {（2n + 1）（1-q ^ {2n +1}）} =  log P（a、q）。  tag 2 $$ $ $$ u_0（a、q）：=  frac {P（a、q）-1} {P（a、q）+1}も設定します。  tag 3 $$次に、$$ u_0（a、q）：=  frac {2a} {1-q +}  frac {a ^ 2（1 + q）^ 2} {1-q ^ 3+}があります。  frac {a ^ 2q（1 + q ^ 2）^ 2} {1-q ^ 5 +}  frac {a ^ 2q ^ 2（1 + q ^ 3）^ 2} {1-q ^ 7 +}  ldots、 tag 4 $$（2）の値$ a = q ^ { nu + 1/2} $、$  nu  in  {0,1,2、 ldots } $を次のように設定します$ $$ P  left（q ^ { nu + 1/2}、q  right）=  exp  left（-4  sum ^ { infty} _ {n = 0}  frac {q ^ {（ 2n + 1）（ nu + 1/2）}} {（2n + 1）（1-q ^ {2n + 1}）}  right）= $$ $$ =  exp  left（-4  sum ^ { nu-1} _ {j = 0}  textrm {arctanh}（q ^ {j + 1/2}）+  textrm {arctanh}（k_r） right） tag 5 $$
 
（多くのアプリケーションと非常に興味深いメモについては、以下を参照してください。
 
http://www-elsa.physik.uni-bonn.de/~dieckman/InfProd/InfProd.html）
 
ここで、関数$ k_r $は楕円単数係数であり、$ k'_r =  sqrt {1-k_r ^ 2} $です。
 
（5）の$  nu = 0 $の場合、$$ P  left（q ^ {1/2}、q  right）=  frac {k'_r} {1-k_r}が得られます。 $$したがって、連分数$ u_0（q ^ {1/2}、q）$は$$ u_0（q ^ {1/2}、q）=  frac {k'_r + k_r-1} {k 'です。 _r-（k_r-1）} =  frac {2q ^ {1/2}} {1-q +}  frac {q（1 + q）^ 2} {1-q ^ 3 +}  frac {q ^ 2（1 + q ^ 2）^ 2} {1-q ^ 5 +}  frac {q ^ 3（1 + q ^ 3）^ 2} {1-q ^ 7 +}  ldots、 tag 6 $ $ここで、$ q = e ^ {- pi  sqrt {r}} $、$ r> 0 $。
 
$ r = 1 $との関係（6）、$ k_1 = k'_1 =  frac {1} { sqrt {2}} $は次のようになります：$$ u_0  left（e ^ {- pi / 2}、e ^ {- pi}  right）=  sqrt {2} -1。 $$
 
参考文献
 
[1]：N.D.BagisとM.L.グラッサー。 「ラマヌジャンの連分数の評価」。レンド。セム。マット。大学パドヴァ、Vol。 133（2015）。 （2013年提出）