Gromovの$ delta $の最適な$ delta $-双曲平面の双曲性

Optimal Delta Gromovs Delta Hyperbolicity Hyperbolic Plane

解決：

答えは$ delta = ln（2） approx 0.693147181 $。

主張：無限遠点の4つの点の正しい配置は、理想的な正方形の角にあります。

手元にあるクレームで、私たちは計算することができます$ delta $上半平面モデルで。ポイントを$ 0、1、 infty、-1 $。これらの各ポイントに同一のホロサークルを配置します。これらは周期的に接しており、すべて同じ最小距離を持っています$ delta / 2 $ポイントから$ i $。接点は、約4回転の順序で周期的に並べ替えられます。$ i $。ホロ球の境界をとると$ infty $ラインになる$ y = H $次に、次の4つの要素を発見します（固定$ i $）送信$ 1 + iH $に$ -1 + 2i / H = -1 + iH $。したがって$ H = sqrt {2} $。そう$ delta $からの距離の2倍です$ i $に$ i sqrt {2} $これで完了です。

主張の証明は難しいようです。 4つの重要なポイントが与えられれば、私たちは増加できることを証明する必要があります$ delta $最初にそれらを「外側」に動かして円の上に置き（トリッキー）、次に円の上に対称的に置き（中）、次に円の半径を無限大に増やします（簡単）。

確かに、双曲平面は$ log（2）$-双曲線（双曲線の4点定義）。これが最適な定数です。結果は自明ではなく、最初にCorollary5.4として登場しました。

ニース、ボグダン。スパクラ、1月。 、 強い双曲線性 、グループGeom。 Dyn。 10、No。3、951-964（2016）。 ZBL1368.20057。