代数幾何学

有限型のスキームの剰余体（$ mathbb {Z} $以上）



Residue Fields Schemes Finite Type



解決：

あなたはこれを解決するのにかなり近いようです。最後のステップをお手伝いさせてください。

1）の場合、$ X $がアフィンであると仮定する場合があります。たとえば、$ X = $ Spec $ A $と仮定します。 $ x $を$ X $の閉点とし、$ m_x $を$ A $の対応する最大イデアルとします。 $ k（x）= A_ {m_x} / m_x $を剰余体とします。



$ A $は有限生成された$ mathbb Z $代数であり、$ m_x $と$ mathbb Z $の共通部分はゼロ以外の理想であることに注意してください。 （実際、$ m_x cap mathbb Z = 0 $と仮定します。この場合、Spec $ A $の点$ x $は、Spec $ mathbb Z $の一般的な点の上にあります。したがって、スキームのモーフィズムでは、剰余体$ mathcal O_ {Spec mathbb Z、（0）} to A / m_x $の誘導モーフィズムがあります。これは、注入モーフィズム$ mathbb Q to A / m_x $に対応します。 （もちろん、そのような形態が直接あることもわかります。）しかし、$ A / m_x $は有限生成の$ mathbb Z $代数であり、これらに$ mathbb Q $を含めることはできません。この主張は証明されています。 Eric Wofseyの回答で詳細に）したがって、$ m_x cap mathbb Z $はゼロ以外の素数理想であるため、$ m_x capとなるような素数$ p $（$ x $によって一意に決定される）があります。 mathbb Z = p mathbb Z $。 $ x $は標数$ p $のポイントであると言うことがあります。

$ A $は有限生成の$ mathbb Z $代数であるため、$ k（x）$は有限生成の$ mathbb F_p $代数になります。 $ k（x）$は体であるため、ヒルベルトの零点（あなたが正しく言うように）から、$ k（x）$は（標数$ p $の）有限体であることがわかります。



2）の場合、$ X $はアフィン（および$ mathbb Z $を超える有限型）であると再び仮定できます。 $ X subset mathbb A ^ n _ { mathbb Z} $を閉埋め込みとします。剰余体$ mathbb F_q $を持つ（閉じた）点の集合は、$ mathbb F_q $の有理点$ X $の集合$ X（ mathbb F_q）$に含まれていることに注意してください。したがって、$ X（ mathbb F_q）$は$ mathbb A ^ n（ mathbb F_q）= mathbb F_q ^ n $（セットとして）のサブセットです。後者のセットは明らかに有限です。

最後のコメントとして：$ X $（アフィンの場合）は次のように考える必要があります 限りなく多い $ mathbb Z $に係数を持つ多項式。 $ X $で剰余体$ mathbb F_q $を持つ閉点を探すときは、$ mathbb F_q $で多項式のシステムの解を探しています。


（1）では、$ mathbb {Z} cap m $を$ 0 $にすることはできないという主張は、任意のジャコブソン環（すべての素数がそれを含む最大イデアルの共通部分である環）に適用されるNullstellensatzのバージョンに基づいています。 ）、フィールドだけではありません。この一般的なNullstellensatzは、$ R $がジャコブソン環であり、$ A $が有限生成の$ R $代数である場合、$ A $はジェイコブソンであり、最大の理想的な$ m サブセットA $、$ m cap R $は$ R $で最大であり、$ A / m $は$ R /（m cap R）$の有限拡大です。これを$ R = mathbb {Z} $で適用すると、すぐに$ mathbb {Z} cap m $を$ 0 $にすることはできません。



または、次のように、フィールドのNullstellensatzとArtin-Tateの補題から$ mathbb {Z} cap m neq 0 $を推定することもできます。 $ mathbb {Z} cap m = 0 $の場合、$ A / m $は有限生成された$ mathbb {Q} $代数であるため、Nullstellensatzによる$ mathbb {Q} $の有限拡大です。 $ mathbb {Q} $の場合。 $ mathbb {Z} subset mathbb {Q} subseteq A / m $に適用されるArtin-Tateの補題により、$ A / m $が有限生成された$ mathbb {Z} $代数であるという事実$ mathbb {Q} $も有限生成$ mathbb {Z} $代数であることを意味します。これは明らかに誤りです（$ mathbb {Q} $の有限に生成されたサブリングは、分母に現れる有限の数の異なる素数しか持つことができません）。