ひねられた三次はアフィン多様体です。

Twisted Cubic Is An Affine Variety

解決：

まず、理想的な$ I：=（x ^ 2-y、x ^ 3-z）$が素数であることを証明しましょう。 $ f cdot g in I $と仮定します。明らかな同型写像$ k [x、y、z] cong（k [x、y]）[z] $、$ k [x、y] cong（k [x]）[y] $と除算アルゴリズムを使用して、 $$ f（x、y、z）=（x ^ 3-z）f_1（x、y、z）+（x ^ 2-y）f_2（x、y）+ f_3（x）、$$があります$$ g（x、y、z）=（x ^ 3-z）g_1（x、y、z）+（x ^ 2-y）g_2（x、y）+ g_3（x）。 $$これで、$ f_3（x） cdot g_3（x） in I $ができたので、$$ f_3（x） cdot g_3（x）=（x ^ 3-z）h_1（x、y、z） +（x ^ 2-y）h_2（x、y、z）。$$ $（x、y、z）=（t、t ^ 2、t ^ 3）$を挿入し、$ f_3（t） cdotを取得しますg_3（t）= 0 $すべての$ t in k $。 $ k $が代数的に閉じている（したがって無限である）場合、$ f_3 cdot g_3 = 0 $になるため、$ f_3 = 0 $または$ g_3 = 0 $になります。次に、$ g in I $の$ f in I $であるため、$ I $は素数（したがってラジカル）です。 $ I（Y）= I（V（I））= operatorname {Rad}（I）= I $があり、これは素数です。したがって、$ Y $は既約です。

明らかな同型写像$ Y cong mathbb {A} ^ 1 $があります。これは他のすべてを証明します。