常微分方程式

ロンスキー行列式の直感的な意味は何ですか？



What Is Intuitive Meaning Wronskian



解決：

次数$ n $のすべての同次線形常微分方程式$ L ^ {（n）} f = 0 $は、線形システム$ vec {f} 、 '（z）= A（z）の形式に同等に置くことができます。 vec f（z）$ with $ A（z） in mathrm {Mat} _ {n times n} $、たとえば$$ vec f =（ begin {array} {cccc} f＆f '＆ ldots＆f ^ {（n-1）} end {array}）^ T。$$$ n $ベクトル解$ vec f_1、 ldots、 vec f_n $を取り、それらを組み合わせて行列$ F =（ begin {array} {ccc} vec f_1＆ ldots＆ vec f_n end {array}）$。明らかに、$ F（z） in mathrm {Mat} _ {n times n} $は同じ方程式$$ F '（z）= A（z）F（z）。 tag {1} $$を満たします。後者のシステムを明示的に解くことは困難で通常は不可能ですが（これは元の問題と同等です）、特定の組み合わせ$ W（z）= operatorname {det} F（z）$がスカラーを満たすことを簡単に示すことができます。 1次の線形ODE、つまり$$ W '（z）= W（z） operatorname {Tr} A（z）、$$は、$ W（z）= mathrm {const} cdot expを意味します。 int operatorname {Tr} A（z）、dz $。この特定の組み合わせはロンスキー行列式と呼ばれます。そのメリットは次のとおりです。

  • その形式は、上記のように明示的に計算できます。これは、唯一の未知の部分が、解自体がたとえば次の場合でも計算できる定数の値であるためです。複雑な特殊関数（漸近解析のみを保持するだけで十分です）。



  • $ W（z）$の消失は、解の線形依存性と明らかに同等です。


私にとって、線形同次一次微分システムのロンスキー行列式を理解するための重要な式は次のとおりです。$$ text {if} quad frac {d A} {dt}（t）= B（t）A（ t） quad text {then} quad frac {d} {dt} left（ det A（t） right）= mathrm {tr} 、B（t） det A（t）。 $$



ここで、$ A、B $は正方行列であり、$ mathrm {tr} $は「トレース」を表し、この式は「リウヴィルの式」と呼ばれることがよくあります。

次のように適用します。 $ n $微分方程式のシステムを考えてみましょう$$ frac {d boldsymbol {x}} {dt} = B（t） boldsymbol x（t）。$$（太字は$ mathbb R ^ n $の要素を示します、列ベクトルと見なされます）。 $ n $の解を取る$ boldsymbol {x} _1 ldots boldsymbol {x} _n $行列$$ A（t）= begin {bmatrix} boldsymbol {x} _1、 ldots ,、 boldsymbol {x} _n end {bmatrix} in mathbb {R} ^ {n timesn}。$$

ロンスキー行列式$ det A（t）$は、$ boldsymbol {x} _1 ldots boldsymbol {x} _n $がまたがる平行六面体の方向付けられた体積として幾何学的に解釈されます。リウヴィルの公式によると、このボリュームの進化は$ B（t）$の痕跡によって支配されています。



次数$ n $ $$ x ^ {（n）}（t）+ b_ {n-1}（t）x ^ {（n-1）}（t）+ ldots + b_0（ t）x（t）= 0 $$ベクトル$$ boldsymbol {x}（t）= begin {bmatrix} x（t）\ x '（t）\ vdots \ x ^ {を導入します（n-1）}（t） end {bmatrix} $$と行列（ 'コンパニオン行列'）$$ B（t）= begin {bmatrix} 0＆1＆0＆ ldots＆ ldots＆ ldots \ 0＆ 0＆1＆0＆ ldots＆ ldots \ ＆＆＆ vdots ＆＆ \ 0＆ ldots＆ ldots＆ ldots＆0＆1 \ -b_0（t）＆-b_1（t）＆ ldots＆ ldots ＆-b_ {n-2}（t）＆-b_ {n-1}（t） end {bmatrix} $$であるため、方程式は$ frac {d boldsymbol {x}} {dt}と同等になります。 = B（t） boldsymbol {x}（t）$。多くの場合、$ boldsymbol {x} $は 位相空間 元の方程式の。 （これは、$ n = 2 $の場合に特に当てはまります。この場合、位相空間は通常、位置と速度のデカルト積として解釈されます。）

次数$ n $の線形同次微分方程式の場合、ロンスキー行列式は位相空間の方向付けられたボリュームとして解釈されます。リウヴィルの公式によると、ロンスキー行列式の進化は、用語$ mathrm {tr} 、（B（t））=-b_ {n-1}（t）$によって支配されます。

さらなる開発 。この解釈は、ハミルトン系に関するリウヴィルの定理の枠内によく適合します。こちらもご覧ください。